Hardy型调和函数空间上的算子理论

As solutions of Laplace’s equation, the harmonic functions play a crucial role in many areas of mathematics, physics and engineering. This project aims to study the Hardy-type Hilbert space of harmonic functions on the unit disk that is generated by two inner functions, which is a proper closed subspace of Lebesgue square integrable function space L2. In particular, it is the orthogonal complement of model space in L2. We define the Toeplitz operator, the Hankel operator and dual Toeplitz operator on this harmonic Hardy-type space. Also we define a special kind of harmonic Hardy-Toeplitz operator, dual truncated Toeplitz operator on the space. According to our works on dual truncated Toeplitz operator and the general theory of Toeplitz operators on classical Hardy space, we will focus on study the properties of the Toeplitz operator on the harmonic Hardy-type space, including the zero product problem, the condition when the semi-commutator and commutator is zero or of finite rank or compact, the C*-algebra generated by the harmonic Hardy-Toeplitz operator and the spectrum of the harmonic Hardy-Toeplitz operator. Meanwhile, the research in commuting problem of Toeplitz operators on multivariable harmonic Hardy space these topics will benefit from the study of these topics as well. We expect to explore this new branch of Toeplitz operator theory, enrich and inspire the study of operator theory.

调和函数是拉普拉斯方程的解，在许多数学，物理与工程中起着关键作用。本项目通过用两个内函数，构造出单位圆盘上的Hardy型调和函数Hilbert空间。这是单位圆周上的勒贝格平方可积函数空间L2的真闭子空间。这个空间的特殊情形就是模型空间的正交补空间。我们定义了调和Hardy空间上的Toeplitz算子，Hankel算子与对偶Toeplitz算子。模型空间的正交补上的对偶截断Toeplitz算子就是一种特殊的调和Hardy—Toeplitz算子。参照经典的Hardy空间Toeplitz算子理论，我们将在研究对偶截断Toeplitz算子所取得的成果基础上，主要研究一般的调和函数Hardy空间上Toeplitz算子的性质，如零积问题，半交换子与换位子为零，为有限秩，为紧的条件，研究由调和Hardy—Toeplitz算子生成的C*-代数的性质，研究调和Hardy—Toeplitz算子谱的性质等等。

一、调和Hardy空间上的算子理论.通过用两个内函数，我们构造出单位圆盘上的Hardy型调和函数Hilbert空间并定义了该空间上的Toeplitz算子，Hankel算子与对偶Toeplitz算子。模空间的正交补上的对偶截断Toeplitz算子就是一种特殊的调和Hardy Toeplitz算子。.参照经典的Hardy空间Toeplitz算子理论，我们研究了更一般的调和函数Hardy空间上Toeplitz算子的代数性质，通过一系列论文建立起了调和函数Hardy空间上的Toeplitz算子理论，得到了一些和经典函数空间上的Toeplitz算子的情况不全一样的有趣结果。.二、Hardy空间上的三个Toeplitz算子或Hankel算子的乘积.即使在Hardy空间上,与研究单个算子的性质相比,研究Toeplitz算子Hankel算子乘积的情况要困难的多.而且两个Toeplitz算子乘积的结果很难推广到三个或以上的算子乘积的情况。1997年，夏道行和郑德超所给出的三个Hankel算子乘积是零及是紧的条件在时隔多年后在研究截断Toeplitz算子时非常有用。这激发我们研究并完全刻画了三个Hankel算子的乘积等于一个Hankel算子的充要条件；给出了三个Hankel算子某种次序可交换的充要条件以及三个非常值共轭解析符号的Hankel算子可交换的充要条件；刻画了三个Toeplitz算子的乘积是一个Toeplitz算子或Hankel算子的充要条件.三、对偶Toeplitz算子的谱和可逆性刻画.众所周知，有界线性算子的可逆性和谱问题一直是算子理论中的一个基本却又相当困难的问题。对于调和Bergman空间的正交补空间上的对偶Toeplitz算子，尽管它们与Toeplitz算子在很多地方都有差异，但Stroethoff和郑德超证明了它们仍有和Toeplitz算子相同的基本性质且研究了该算子的代数性质和谱性质。除此之外，即使是连续符号的该类算子的可逆性、亚正规性和谱，大家都知之甚少.在调和Bergman空间的正交补空间上，我们给出了连续符号的对偶Toeplitz算子的谱和本质谱，并构造出了具有不连通谱集的连续符号的对偶Toeplitz算子，完全刻画了有界调和符号的对偶Toeplitz算子的亚正规性，并给出了该算子是可逆的充分条件.四、应用算子理论方法研究一些数学物理方程并得到一系列结果。