适用于大规模并行计算的可扩展新型算法：求解不适定反问题的区域分解方法

区域分解方法是一种利用大规模并行机去求解大规模正问题（特别是关于边值和初边值问题的偏微分方程）的最自然和最成功的方法之一。在很多实际工程应用和基础数学中都出现了大量不适定的反问题，求解这些不适定反问题的一种最稳定和有效的方法是通过Tikhonov正则化方法将他们转化成为一个稳定的优化问题。与正问题相比，求解反问题更具有挑战性。现在已有很多有效求解大规模正问题的区域分解方法，但是对怎样在理论上和数值上有效求解反问题的研究还很少。在本项目中，我们提出一些新的求解某些重要反问题的算法。这些算法将会体现区域分解方法的精髓，也就是说通过迭代过程去求解稳定的优化系统，并且在每个迭代中都只是在子区域内求解更小的优化问题。同时我们保证了当全局优化系统的自由度和子区域个数急剧增加时，外迭代次数增长非常慢。我们将给出大量的数值试验证明这些算法的高效性、可靠性，并在理论上给出相应的收敛性分析。

（1） 研究了用Tikhonov正则化方法识别耦合抛物-椭圆型系统中的散射参数q(x)的收敛率情况。在我们的工作中，同时考虑了单一的H1正则化和混合的Lp-H1正则化方法；（2） 设计了几种有效求解某些线性反问题（所谓线性是指正问题是线性的）的重叠区域分解算法，包括识别二阶椭圆和抛物方程所在区域内的源场和初始温度以及（部分）边界上的流。我们的算法在一定程度上克服了正问题的解全局依赖于待识别的参数这个困难，并且仅需要计算每个子区域内的局部正问题及其对偶问题。数值计算表明算法是稳定、有效的。特别地，算法的收敛性接近最优，也就是说当网格步长减小时外部迭代次数几乎保持稳定或者增长很慢；（3） 研究了应用Levenberg-Marquardt方法求解椭圆和抛物型系统中的非线性Robin反问题的二阶收敛性。我们先证明了所考虑的Robin反问题的唯一性，根据此唯一性，通过给定一些合理的假设，严格证明了Levenberg-Marquardt方法求解该Robin反问题是二阶收敛的。然后我们设计了替代函数算法求解由Levenberg-Marquardt方法转化而成的凸优化系统。数值例子表明所设计的算法是稳定可靠的，和理论分析相吻合；（4） 设计了几种重叠区域分解算法求解椭圆和抛物方程中的非线性Robin反问题。由于（3）中研究了应用Levenberg-Marquardt方法将非凸的优化系统转化成为凸优化系统是二阶收敛的，我们设计了类似于求解线性反问题的重叠区域分解算法去求解该凸优化问题。这些算法经数值计算验证也是稳定、有效的：只需要在每个子区域内计算局部正问题及其对偶问题，并且当网格步长减小时外部迭代次数也几乎稳定或者增长很慢；（5） 设计了一种新的应用远场数据的直接样本点方法研究声波逆散射问题；（6） 对于应用一个单一的入射平面波得到的远场数据，我们设计了两种逆散射方法去定位多个电磁散射体；（7） 对于来源于线性或非线性反问题的离散线性代数方程组，我们用随机SVD（RSVD）代替经典SVD，用近似的SVD来做正则化；估计了算法的复杂度（基本上比经典SVD低一个数量级），给出了误差估计。