可压缩流体边界层的数学理论

In this proposal, we will systematically study the mathematical theory of boundary layers for compressible flows. First, we will study the general boundary layer problems of compressible fluids, describe the behavior of boundary layers, especially the interaction between the viscous layer and thermal layer, and establish their mathematical models. Afterwards, the interaction between the thermal layer and viscous layer is analyzed, and the suitable conditions of the problem are given to establish the well-posedness theories of the problems. Meanwhile, the stability of boundary layer problems is analyzed, in which the study focuses on the characteristics of the thermal layer and analyzes its effect on the stability of boundary layers. Then, we will investigate the global existence of boundary layer and longtime behavior of solutions to boundary layer problems under the condition of suitable pressure gradient, as well as the boundary layer separation without the suitable pressure gradient condition. Furthermore, we shall analyze the effects of thermal layer on compressible boundary layers. Next, the interaction between boundary layers and viscous elementary waves is explored. From the study of this project, we shall have a deep understanding of the behavior of compressible boundary layers and push forward the mathematical theory of boundary layers. At the same time, it shall develop the mathematical theory and research methods for nonlinear partial differential equations, especially the initial-boundary value problems for degenerate, mixed-type equations.

在此项目中，我们将系统研究可压缩流体边界层的数学理论。研究一般可压缩流体的边界层问题，刻画其边界层的性态，尤其是速度边界层与热流层之间的相互作用，建立其数学模型。然后深入分析热流层与速度层的相互干扰作用，给出问题的适定性条件，建立该数学模型的适定性理论;分析边界层的稳定性，重点研究此时热流层的性态，分析其对边界层稳定性所起到的作用;考察在顺压梯度条件下边界层的整体存在性和长时间性态，以及逆压梯度条件下边界层的分离，分析热流层对可压缩流体边界层所带来的影响;探索边界层与粘性基本波的相互作用。通过此研究将深刻理解可压缩流体边界层的性态，丰富边界层的数学理论，同时促进非线性偏微分方程理论与方法的研究，尤其是带有退化的混合型方程组的初边值问题的研究。

在此项目中，申请者首先系统研究了可压缩流体边界层的数学理论。针对两维半平面上的可压缩非等熵 Navier-Stokes 方程组，研究了该模型带有各种边界条件的边界层问题（尤其是带有无滑移的速度边界条件，此时一般有强的速度边界层），刻画了边界层的性态，尤其是速度边界层与热流层之间的相互作用，建立其数学模型。然后深入分析了热流层与速度层的相互干扰作用，给出了问题的适定性条件，并系统地建立了该数学模型的适定性数学理论;分析了部分可压缩边界层的稳定性，重点研究此时热流层的性态，并分析其对边界层稳定性所起到的作用; 对热非平衡态流体模型探索了边界层与初始层的相互作用，揭示了初值的相容性条件决定了两者相互作用的强弱程度，并对弱边界层和强初始层相互作用的情形给出了严格的数学证明。其次，申请者研究了在逆压梯度条件下稳态 Prandtl 边界层的分离问题，通过将其转化为一个自由边界问题，利用爆破分析技巧研究了分离点乃至分离线的存在性和渐近形态。最后，申请者还研究了边界层的稳定性问题，一方面针对二维稳态MHD方程组在切向磁场非退化情形下证明了剪切流边界层的稳定性；另一方面以二维不可压缩磁流体中 Hartmann 层为例给出了研究边界层线性谱不稳定性的新方法，而且这一方法更为简单直接。通过此研究深刻理解了流体边界层的性态，丰富了边界层的数学理论，同时也促进了非线性偏微分方程理论与方法的研究，尤其是带有退化的混合型方程组的初边值问题的研究。