基于混杂跳跃扩散过程的最优控制及其应用

Hybrid jump-diffusions, also known as switching jump-diffusion processes, are used to characterize complex systems and their inherent uncertainty and randomness in the environment such as economics, biology, finance, engineering. The main aim is to find policies satisfied some objective functions under switching diffusion systems. Controlled hybrid jump diffusion processes have become more popular recently. The theory of controlled hybrid jump diffusion processes are so few that cannot satisfy the need of practitioners. Based on the theory and method of controlled jump-diffusions, this project will study the optimal stochastic control and impulse control of hybrid diffusion systems; Investigate stochastic maximum principle of hybrid jump diffusion systems and existence and uniquenss of viscosity solution of HJB equations associated hybrid jump diffusions; Focus on the measure method of risk and controlled theory when assets price follow switching jump diffusion processes. The results of project will be applied to the designation and management of stochastic models when the Markov parameters cannot be neglected.

在经济学、生物学、金融学、工程等许多科学研究中，混杂跳跃扩散过程又称转换跳跃扩散过程，常被用于刻画内在随机动力系统与外在随机环境共存。对于给定的目标函数，如何从可允许的策略中获得最优策略对混杂跳跃扩散过程刻画的模型，是研究本项目的宗旨。 国际上关于混杂跳跃扩散过程的随机控制的研究是在近些年逐渐兴起的，有关的理论与方法还不能满足实际的需求，迫切需要深入与完善。本项目借鉴并发展跳扩散过程的随机控制的理论与方法，将研究金融混杂系统的最优随机控制、脉冲随机控制；研究混杂跳跃扩散过程中随机控制问题的随机最大值原理及其对应的动态规划方程组粘性解的存在性与唯一性条件；研究混杂模型的金融风险与资产控制理论。项目的研究成果可直接应用于需要同时考查马尔可夫系数的随机模型的设计与决策。

本项目主要研究带马尔可夫切换的扩散过程的脉冲控制、遍历控制的问题及其应用。 对于混杂扩散过程驱动的风险模型，我们研究了保险人服从一类混杂跳跃扩散过程的最优分红问题。 讨论了带有固定与比例交易费用情形下，保险公司最优分红问题。 假定投资人风险中性的条件下，我们证明了如果索赔分布为log凸的， 则最优分红为常数障碍分红，给出了障碍分红存在性与唯一性的充分条件，并证明了粘性上解与下解的存在性。 另外给出值函数为动态规划方程的粘性解唯一性的条件，并利用随机最优算法求最优红利障碍。 对于一般情形下的混杂扩散过程的，研究其遍历控制与遍历准则: 若混杂扩散(X(t), r(t)) 不可约, 且半群具有胎紧（tight ）与弱费勒（Feller）性，则过程(X(t), r(t))具有唯一不变分布、遍历。在该准则下，我们给出了不同测度距离下，带马尔可夫切换的转移函数弱收敛到平稳分布的若干刻画；以及带马尔可夫切换的转移半群的渐近强Feller 性的刻画，并给出奇异扩散过程（对应的无穷小生成元为非一致椭圆算子）与一类系数二阶多项式增长的过程的不变测度的存在与唯一性充分条件。 此外，我们得到带马尔可夫切换的扩散过程对应的转移密度满足的纳什不等式 以及转移密度与的上、下界的估计。