逼近论中若干构造性问题和方法的研究

项目主要研究(1)利用直接构造的方法构造适用于逼近Lp空间、Orlicz空间等函数空间的有理算子，研究所构造算子的逼近性质，建立优于多项式逼近的逼近定理；构造广义的多项式倒数(即分子为给定次数的有理函数)，建立Lp空间逼近定理和对连续函数逼近的点态估计。(2)构造能够适用于逼近具有内部奇性和端点奇性函数的多项式算子、插值多项式算子和有理算子，建立加权逼近的逼近阶，等价刻画等逼近定理。(3)将逼近论中的构造性方法和Fourier分析中的有关方法结合，对三角级数中的一些经典的问题进行新的研究。.线性构造方法和非线性构造方法相互结合，并贯穿于有理逼近、、多项式逼近、 Fourier分析的研究，有利于不同方法之间的相互借鉴和融合，形成新的方法体系。通过将逼近论中构造性方法应用到三角级数理论的研究，可以为逼近论的方法找到更多的应用领域。

本研究项目的主要成果包括几个方面（1）有理算子逼近和神经网络逼近；（2）广义多项式倒数逼近；（3）具有奇性函数逼近；（4）Fourier级数的性质和逼近；（5）级数求和理论的研究。.　　在第一个方面：构造了能应用于逼近具有端点奇性函数的Shepard-Lagrange算子，给出了逼近的正逆定理；构造了具有Sigmoidal型函数的神经网络算子，给出了逼近的点态估计和整体估计，并考察了同时逼近；引入了一种神经网络算子的线性组合，可以提高对光滑函数的逼近阶；构造了一种具有Gaussian函数的近似逼近算子。.　　在第二个方面：构造了新的分子次数给定的有理函数，给出了逼近的点态估计，解决了数学进展上的一个猜想；构造了分母为正系数多项式，分子为给定次数多项式的有理函数，给出了逼近的点态估计。.　　在第三个方面：构造出了能够逼近具有奇性函数的有理算子；能够同时逼近导数具有奇性函数的新的Bernstein算子，给出了同时逼近的正定理；构造了一种新的Kantorovich-Bernstein算子,去掉了对Jacobi权函数的参数的上界的严格限制。.　　在第四个方面：在求和矩阵很一般的条件下，考察了Fourier级数的平均对连续函数的逼近，考察了Fourier-Stieltjes级数的平均对连续函数的逼近；考虑了二重Fourier级数对二元有界变差函数的绝对求和逼近；引入了二重MVBV条件，给出了当系数满足二重MVBV条件时，三角级数属于Lipshcitz函数类的充分必要条件。.　　在第五个方面：纠正了Sevli, Savas和Rhoades等的一个错误；引入了一种新的矩阵类，给出了求和矩阵属于时的级数绝对求和的因子定理；研究了当求和因子在拟单调条件下，级数绝对求和的因子定理。