基于泛函空间和微分包含的非光滑变分与优化

本项目以微分包含理论为中心，结合泛函空间理论和非线性分析方法，重点研究（1）可积函数空间及其上超空间的几何拓扑性质；（2）非光滑变分原理及其对偏微分包含多解和定变号解存在性的应用；（3）无穷维广义次梯度系统解轨道的渐进性分析及有穷维微分包含在带有约束非光滑非凸优化中的应用。（4）有限维和无穷维混合系统鲁棒渐近稳定性的Lie代数方法. 本项目的研究，不仅对泛函空间及非光滑分析理论有重要价值；还将加深对偏微分包含所描述的物理过程的认识，同时将为非光滑非凸优化计算提供新的有效途径。

本项目以泛函分析空间理论为基础，以微分包含，非光滑分析与集值分析为工具，重点研究了以下方面的内容：(1)利用非光滑变分原理及临界点理论，研究了变指数偏微分方程多解的存在性及Hamilton系统非平凡周期解的存在性；(2)在有限维及无穷维两种情况下，研究了耗散系统解的渐近行为，并应用于求解优化问题的算法设计；(3)研究了切换系统的稳定性分析，并应用于一类离散系统的同步分析；(4)基于空间理论及非光滑分析，研究了不确定性系统初边值问题解的存在性。..本项目获得了以下有意义的结果：(1)建立了非光滑位势情况下P(x)-拉普拉斯方程多重解的存在性定理；(2)在Hilbert空间框架下，建立了非光滑凸优化问题的动态求解算法，在一定条件下，证明了轨道的强收敛性，改进了Opial引理；(3)建立了线性切换系统具有鲁棒稳定性的Lie代数判据；(4)给出了离散Cucker-Smale模型同步的充要条件，改进了Cucker-Smale的原始工作和Shen的工作；(5)基于Krein空间理论及再生核理论，建立了基于先验知识的核函数构造理论，并应用于机器学习中的分类问题。..本项目的完成，一方面，丰富和发展了非线性分析和非光滑分析的理论和方法，揭示了耗散系统具有良好的收敛特性及复杂系统具有多样化的动力学特性；另一方面，为控制方法和最优化设计在工程科学中的应用提供了理论支持。