两类带外场的流体力学方程的一些数学理论

This project is to study some mathematical theories of two classes of fluid dynamic equations with external fields such as radiation or magnetic field, and try to investigate how properties of the solution to these equations are influenced by external fields. On one hand, this project is concerned with the radiation Euler equations, which are a general model for compressible invscid gas dynamics with heat radiative transfer phenomena and given by the nonisentropic Euler equations coupling with an elliptic equation. We will study the stability of composite wave of two viscous shock waves on the Riemann problem、the existence of spatially periodic solution、global wellposedness of small Sobolev solution and the stability of the planar shock wave and so on. On the other hand, this project is concerned with boundary layer equations for compressbile MHD, which can be derived from fundamental MHD equations with physical boundary in high Reynolds and magnetic Reynolds numbers. We will study compressible MHD boundary layer equations with the non-slip boundary condition for the velocity field and the perfectly conducting boundary condition for the magnetic field. In addition, the magnetic Reynolds limit with non-zero magnetic Prandtl number also will be studied.

本项目拟围绕两类带外场（如辐射或磁场）的流体力学方程的一些数学理论展开研究，尝试研究外场对这些方程解的性态的影响。具体地说，我们计划研究辐射Euler方程及可压缩磁流体（MHD）边界层方程的一些数学理论。关于辐射Euler方程，它是一个考虑了热辐射的可压缩无粘性气体动力学模型，由经典的非等熵Euler方程耦合一个椭圆方程而成。我们计划研究Riemann问题由两个粘性激波组成的复合波的稳定性、空间周期BV解的存在性、任意维Cauchy问题小初值Sobolev解的整体适定性以及高维平面激波的稳定性等。关于可压缩MHD边界层方程，它由带有物理边界并且具有大雷诺（Reynolds）数的基本MHD方程导出。我们计划研究具有热传导的、速度场具有非滑移边界的和磁场具有理想传导边界条件的可压缩MHD的边界层理论及其极限问题, 例如，具有非零磁Prandtl数的大Reynolds数极限等。

项目按计划研究了辐射Euler方程和MHD边界层方程等两类带外场(辐射和磁场)的流体力学方程的一些数学理论，发现外场对解的性态的影响，导致一些新现象的出现。此外，还研究了其他相关流体力学方程的一些数学理论。. 主要研究内容和结果包括三个方面。1.一维辐射Euler方程：(1)运用反导数方法研究了Riemann问题两个粘性激波复合波的稳定性。(2)研究了内流问题稀疏波和接触间断波的稳定性。(3)研究了外流问题稀疏波和激波的稳定性。稀疏波的研究与内流问题相比有两个主要困难, 密度和速度缺乏边界条件以至于在一些关键估计中不能直接运用分部积分，温度关于正则化稀疏波的扰动变量产生的新的带权项对基本能量估计带来困难。我们捕捉到稀疏波的一个附加的衰减估计，运用该衰减估计克服了困难。2.二维MHD方程：(1)当流体Reynolds数和磁Reynolds数相对于某小参数具有同样的阶，如果初始切向磁场在边界上非退化，在Sobolev框架下证明了高Reynolds数极限，并获得了精确的收敛率。这是迄今为止在Sobolev空间中这类极限的第一个数学结果。该结果从数学上严格证实了磁场对MHD边界层的稳定性效应。(2)当Reynolds数、磁Reynolds数和Hartmann数等物理参数满足某种条件时，证明了通过对经典不可压MHD方程取高Reynolds数极限得到的二维混合Prandtl-Hartmann MHD边界层方程的初边值问题在带权解析函数空间中的整体存在性。3.其他相关问题：研究了Vlasov-Nordström-Fokker-Planck方程、可压缩等熵Navier-Stokes方程和两相流方程的边界层以及带时间阻尼的Euler方程等流体力学方程的一些数学理论。. 成果以论文发表的形式呈现。项目组在“SIAM J. Math. Anal.” (4篇)、 “Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire”、 “Indiana Univ. Math. J.”、“Phys. D”、“Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A”等期刊发表和接受发表与该项目相关(标注基金号)的论文14篇。. 成果中的研究方法及部分研究结果被应用于研究其他相关问题，还转化到教学之中。