高阶非线性波动方程

本项目主要研究在浅水波、稠密格非线性振动、弹性波导管中波传播、以及非.线性弹性杆振动等实际问题中出现的IBq 型方程(组)、双色散方程(组)、具强阻尼或弱阻尼IBq 型方程(组)、具有高阶(四阶以上)色散项的IBq 型方程(组)、以及具有奇异积分项的Hilbert-Boussinesq 方程等高阶非线性波动方程，我们将通过建立这些方程所对应的线性方程解的色散效应性质和非线性估计方法，研究这些问题在不同函数空间中的初值问题、初边值问题解的整体存在性、唯一性、解的衰减性质和解的爆破性质等。重点研究阻尼项和高阶色散项对整体解的存在性和解的衰减性的影响，以及与不含阻尼项的方程（组）相应结果的区别。这些问题在数学理论上和实际应用中都有重要的意义，它们的解决将对科学技术的发展起促进作用，同时也将对数学自身，特别是高阶非线性波动方程理论的发展产生影响。

本研究项目以出现在浅水波、弹性波导管中波传播、以及非线性弹性杆振动等实际问题中出现的IBq 型方程和双色散方程(组)等高阶非线性方程为背景展开研究。主要结果包括三个方面的内容：(1)Boussinesq 型方程的适定性问题的研究。得到了解的整体存在性、唯一性、解的有限时间爆破、解的长时间行为以及解的能量衰减性质。对具有阻尼项的Boussinesq型方程，研究了阻尼项对解的存在性和解的衰减性质的影响。(2) 双色散方程的适定性问题的研究。证明了小初值解的整体存在、唯一性以及解的长时间行为。(3) 主要研究了其它一些双曲型方程的适定性问题，得到了解的整体存在和不存在性、解的唯一性以及解的长时间行为。