麦克斯韦方程组交错间断有限元方法及其自适应方法

We will study convergence theory and efficient a posterior error estimator for the staggered discontinuous Galerkin methods for several types of Maxwell equations and cloaking models based the electromagnetic material. Computational electromagnetism is one of the active research topics in scientific computing and the proposed model problems can find a lot of practical applications Adaptive staggered discontinuous Galerkin methods are suitable to handle the above electromagnetic problems and have some superior advantages over all others. Only very little research work has been done in this area. We are faced with the following main difficulties: non-nestedness of the staggered discontinuous finite element spaces, the strong jump coefficient in spread medium of electromagnetic field, and multi-physics coupling process etc. New theoretical analysis tools should be developed and explored in order to resolve the above difficulties. We are well prepared and equipped to achieve our goals providing our research experience and preliminary results. This research project is challenging and of significance on the theoretical ground and important applications in practice. This research will advance our knowledge in the existing algorithms and theories for computational electromagnetism.

针对两类典型麦克斯韦方程组和若干电磁场超材料隐身简化模型的交错间断有限元方法，研究相应的误差理论和高效后验误差估计子，并给自适应方法的收敛性证明等。上述模型问题都具有很强的应用背景, 计算电磁场也是当前科学计算的热点研究领域之一，而自适应交错间断有限元方法在对其进行高效数值求解时具有一些独特的优势。目前，国内外与本项目研究内容相关的基础研究工作还相对比较缺乏，在解决交错间断有限元空间的不嵌套性、电磁场传播介质的材料系数强间断性和多物理过程耦合问题等本质性困难时，需要发展新的理论分析工具，而本项目组成员已具有较充分的前期工作经验积累。本项目的研究工作具有重要理论意义和实际应用价值, 希望相应的研究成果能进一步发展和完善已有计算电磁场的算法和理论。

按照项目原定研究计划，围绕项目的原定研究内容及其它相关的偏微分方程数值解法，取得了若干理论和算法研究成果。在两类典型麦克斯韦方程组的交错间断有限元方法方面，设计了基于残量型的后验误差指示子，并证明相应误差指示子的可靠性和有效性，数值实验验证了误差指示子的理论正确性及相关自适应方法的拟最优收敛性。在电磁场超材料隐身简化模型方面，针对一类变系数时谐麦克斯韦方程组的自适应高阶棱有限元（AEFEM）方法，设计了一种高效后验误差指示子，并证明AEFEM的收敛性，数值实验验证AEFEM的拟最优收敛性。关于弱Galerkin和改进弱Galerkin有限元方法方面，针对二阶椭圆问题和H(curl)椭圆方程组的弱Galerkin有限元和改进弱Galerkin有限元方法及相应的自适应方法，分别证明了离散变分问题的适定性和最优误差估计，并构造了部分基于残量型的后验误差指示子，及证明自适应方法的收敛性。关于两网格法方面，针对二阶非对称或不定椭圆偏微分方程的协调有限元离散系统，设计和分析了一种改进两网格法; 分别针对对流-扩散-反应方程的间断有限元离散系统，拟线性椭圆问题的协调有限元、间断有限元和混合有限元离散系统，一类适度非线性二阶椭圆偏微分方程的内罚间断有限元离散系统，分别设计和分析了相应的两网格法。最后，对几类偏微分方程数值离散格式设计和分析了相应的快速求解算法。本课题组时已在 J. Sci. Comput.、Adv. Comput. Math.、Commun. Nonlinear SCI、 Appl. Math. Comput.、Comput. Method. Appl. M. 、Comput. Math. Appl.、J. Comput. Appl. Math.、Adv. Appl. Math. Mech.和高等学校计算数学学报等国内外刊物上发表学术论文12篇，其中被 SCI 收录9篇，1人获得博士学位，6人获得硕士学位，在原项目的研究任务的基础上，对部分相关研究内容上做了适当的延伸。