Maxwell 方程组自适应 PML 高阶棱元离散系统的快速算法

We will research the fast iterative methods and efficient preconditions as well as establish related theories for highe order edge finite element discretizations of adaptive perfectly matched methods for Maxwell equations. The proposed research and issues have been formulated for practical applications. Adaptive perfectly matched layer methods are suitable to handle the electromagnetic scattering problem in an unbounded domain, and the research for its fast solvers is a very active area today in scientific computing. Compared to the reported research, we are faced with the difficult which from the indefinite property of model, the reality of complexity in computation using the high-order edge finite element, the dependence of computational efficiency on the jump coefficient etc. Many new algorithms and theories have to be developed and explored in order to resolve the above problems. For these reasons, we are well prepared and equipped to achieve our goals. This research project is a challenging one, which is of significance on the theoretical ground and has important implications in practice. This research will advance our knowledge in the existing numerical simulation for the electromagnetic scattering problem in an unbounded domain.

针对电磁场方程组自适应完全匹配层法的高阶棱有限元离散系统, 深入研究其快速迭代算法和高效预条件子, 并建立相关理论。本课题所涉及的模型问题具有很强的实际应用背景。自适应完全匹配层法能够很好地求解无界区域上的电磁场散射问题, 对其离散系统快速算法的研究是计算电磁场领域中的热点和难点。与已有工作相比, 我们将面临许多困难点，如模型问题的非正定性对算法的影响, 高阶棱元带来的计算复杂性，算法效率对完全匹配层方程中各向异性系数的强依赖性等等。解决上述困难，需要发展新的算法和理论分析工具。为此，我们已作了比较充分的准备工作。本课题的研究是一项既富有挑战性，又具有重要理论意义和实际应用价值的研究工作，其研究成果将对现有的无界区域上电磁场散射问题的数值模拟起到积极的作用。

按照项目原定研究计划，针对电磁场自适应完全匹配层法有限元离散系统的快速算法，围绕项目的原定研究内容开展工作，取得了若干理论和算法研究成果。在电磁场快速求解算法方面，针对不定时谐电磁场问题高阶棱元离散系统，设计了一种两水平加性的预条件子，并证明将上述预条件子应用于广义最小残量法时所得到预条件系统是一致收敛; 针对电磁场特征值问题，设计了两网格算法，新算法把一个细网格下的电磁场特征值问题转化为同网格下的线性不定电磁场问题和粗网格下的原特征值问题，相应误差估计表明新算法的渐近最优收敛性; 针对电磁场方程组的完全匹配层方程棱有限元离散系统，将其实部和虚部分开，使其转化为一个实的具有某些特殊结构的鞍点系统，通过对相应 Schur 补的分析，对上述鞍点系统构造了一个对称正定的块对角预条件子。在自适应有限法方面，针对平面弹性问题，考虑了一种不需要标记振荡项和加密单元、不需要满足“内节点”性质的自适应有限元方法，证明该方法的收敛性，并针对相应的离散代数系统设计了一种基于局部松弛的多层网格法，数值实验表明该方法的鲁棒性; 此外，本课题还针对时谐电磁场方程组给出了一种交错间断Galerkin法的后验误差估计子，理论证明该后验误差估计子的可靠性和有效性，数值实验也通过一大类测试问题来表明该方法的渐近准确性; 针对一类非对称不定椭圆方程和一类适度非线性二阶椭圆偏微分方程的内罚间断有限元方法，给出相关最优误差估计, 并对其离散代数系统设计和分析了两网格法; 最后针对 Cahn-Hilliard 方程的混合有限元离散代数系统提出了两网格法，且该两网格法可通过结合局部网格加密以达到改进算法效率的目的，数值算例表明与已有的求解算法相比, 该方法在保持相同收敛阶的同时, 所花时间更少。本课题组在 SIAM J. Numer. Anal.、M2AN Math. Model. Numer. Anal.、 Appl. Math. Comput.、Comput. Math. Appl. 和中国科学数学等国内外刊物上发表学术论文 9 篇，其中被 SCI 收录 9 篇，1 人获得博士学位，2人获得硕士学位，完成了项目的研究任务，并在部分相关研究内容上做了适当的延伸。