准周期薛定谔算子谱的重分形分析

The project is devoted to analysis the multifractal properties of spectrum of Schrodinger operators. On the one hand, the recent improvement shows that, multifractal analysis is a necessary way to deepen the study of spectral properties of Schrodinger operators, so that we can provide theoretic base for physical studies. On the other hand, since most of classical multifractal analysis lies on uniform dynamical system, the multifractal analysis of Sturm Hamiltonians will break the limitation, which provide new engines and directions for development of theory of multifractal analysis and dynamical system. The problems that we shall study in the project include multifractal analysis of Schrodinger operators with Sturm potential, fractal and multifractal analysis of critical Almost Mathieu operator, multifractal analysis of Schrodinger operators with substitution potential and multifractal analysis of Moran set.

本项目拟研究准周期薛定谔算子谱的重分形分析。一方面，最近的进展显示，重分形分析是准周期薛定谔算子谱理论研究继续深化的必由之路，它将帮助我们发展薛定谔算子理论，为相关物理研究提供理论基础。另一方面，多数传统重分形理论需要有一致的双曲动力系统，而Sturm算子谱的重分形研究将打破这一限制，为重分形分析和动力系统发展提供新的动力和方向。本项目拟研究的问题有：Sturm势薛定谔算子谱的重分形分析，临界Almost Mathieu算子谱的分形和重分形分析，代换序列势薛定谔算子谱的重分形分析和Moran集的重分形分析。

本项目研究准周期薛定谔算子谱的分形和重分形分析。准周期薛定谔算子、分形和重分形等研究方向无论在数学和物理中都有重要的研究价值。本项目相应的研究计划与目标已经基本达成，后续我们仍将一如既往深入研究。本项目目前发表9篇SCI，另有一篇已接收。发表的杂志有数学物理通讯、分形、数学物理学报等高水平二区杂志。取得了关键性进展的主要内容有：对于Moran集的重分形分析，我们极大丰富了对重分形机理的观察和研究；为研究带重叠自相似集的弱分离条件和有限型的关系，我们创新性引入了带Hausdorff测度意义的有限型分离条件，为进一步研究带重叠的自相似集提供了有力工具；对于倍周期序列势薛定谔算子谱，我们完整刻画了谱结构谱间隙，给出了新的谱集分形维数分析方法；对广义Thue-Morse势薛定谔算子谱结构和分形性质，我们发现了谱集Hausdorff维数趋于1的情况；我们证明存在稠密正测度频率的临界Almost Mathieu 算子谱的Hausdorff维数大于0，这是这方面关于Hausdorff维数正下界的第一个结论，是这方面的一个突破。