准周期薛定谔算子中的动力系统理论

The project is devoted to study spectrum structure of Schrodinger operator. The study relies on tools of dynamical system theory, and can also improve the development of dynamical system theory.The primary value of the study is that, by the help of fractal geometry and dynamical system theory, we can develop spectral theory of Schrodinger operator, and can provide theoretic base to physical study. We will finish first the study of sturm potential with frequency which has unbounded quotients in continued fraction expansion. And, at the same time, we will study the set corresponding to Cookie-cutter-like dynamical system by relation between dimension, entropy and Lyapunov exponent. Then, we will introduce theory of complex dynamical system to general case of Sturm potential. We will also study the structure of spectrum of Thue-Morse potential and Toeplitz potential by the help of dynamical system theory.

本项目拟研究准周期薛定谔算子谱的结构。该研究主要依赖于动力系统理论工具，同时也能促进动力系统理论的发展。本项目的意义在于借助分形几何、动力系统理论，发展薛定谔算子谱理论，为相关物理研究提供理论基础。本项目将首先完成连分式展开部分商无界的频率对应的Sturm势薛定谔算子谱结构的研究，同时将研究Cookie-Cutter-like动力系统对应集合的维数与熵、Lyapunov指数的关系，再将复动力系统理论引入到一般Sturm势的研究中，还将利用动力系统方法研究Thue-Morse序列和Toeplitz序列的谱结构。

本项目主要是用动力系统的方法研究准周期薛定谔算子谱的结构。经过项目组全体成员四年的工作，获得了丰富的成果。本项目拟定了四个问题：一、Sturm势谱结构，二、Thue-Morse势谱结构，三、引入复动力系统，四、将Sturm势谱维数与熵和Lyapunov指数联系起来。前三个问题都取得了重要突破，第四个目前取得部分进展。此外，还在薛定谔算子谱积分状态密度、分形几何基础研究上取得了一些进展。共发表标注本项目资助的SCI论文10篇，会议论文1篇。所得部分结果发表在Advances in Mathematics, Communications in Mathematical Physics等高水平杂志上。.对于第一个问题，我们得到了Sturm势任意斜率对应谱的Hausdorff维数、Packing维数和盒维数公式，得到了Packing维数等于1的充分必要条件，与我们2004年得到的Hausdorff维数等于1的充分必要条件形成漂亮的对偶。论文继承了我们2007年研究斜率连分式展开部分商有界情形采用的Cookie-Cutter-like动力系统框架，克服的核心困难是部分商无界情形。这篇文章的方法和结果受到审稿人的很高评价。.对于第二个问题，在Thue-Morse势方面，我们连续取得了两项突破。一项是得到了对任意势强度，谱的Hausdorff维数有大于0的公共下界。国际同行称这一结果太意外，是非可逆势研究的一个突破。我们的核心技巧是注意到在一个不动点附近迹多项式的迭代有某种重整化性质。我们通过挖掘这一重整化性质得到了维数的公共正下界。一项是证明了存在迹多项式轨道无界的谱点。此前人们没有发现这种谱点的例子。我们通过研究一个复杂的非双曲动力系统证明了这种谱点的存在性和在谱中的稠密性。此外，我们还在研究矩阵乘积迭代动力系统的基础上得到了这类谱点广义特征解的精细估计。审稿人称本文结果是非可逆势谱性研究的突破，文章充满创造性的想法和令人惊讶的细致估计。.对于第三个问题，我们在Sturm势谱的研究中引入了复动力系统理论和方法，得到了较好的传播指数估计。.综上所述，本项目运用动力系统的方法研究薛定谔算子谱结果取得了很大的进步，同时也丰富发展了动力系统理论，为进一步研究薛定谔算子打下了坚实的基础。