与可积系统相关的若干专题

In this project, we shall discuss some applications of integrable systems, which is an increasing interested topic. More precisely, on the one hand, we hope to understand more symmetries and Hamiltonian structures of some (super-) integrable systems. On the other hand, we are interested in several topics related to integrable systems, including Frobenius manifolds, geodesic flow equations and generalized Euler-Poincare systems on infinite-dimensional (super-) Lie groups and commutative differential operators,etc.

本项目主要研究可积系统及其在几何物理中的一些应用，这是当前数学物理研究领域中的一个热点课题。具体的说，我们不仅关注可积系统理论的内在发展，如超对称化、离散化、对称性、Hamiltonian结构和双Hamiltonian 约化等；同时在此基础上更多的关注与之相关的若干专题，如Frobenius流形、无限维（超）Lie群上的测地流方程和广义的Euler-Ponicare系统、可交换的微分算子的构造等。

本项目以可积系统为主线，主要研究与之相关的若干课题，包括无限维的Frobenius流形、某些李代数对偶空间上的Euler方程、Frobenius代数值的（约束）KP方程族等。具体的讲：（1）基于2+1维无色散的2d-Toda的哈密顿结构，我们在一个亚纯函数对空间上构造了一类无限维的Frobenius流形结构，并且讨论了它与2+1维的无色散2d-Toda系列的联系；（2）研究了Frobenius-Virasoro代数（这是我们引入的一个新的无限维李代数）和广义Neveu-Schwarz代数的对偶空间上Euler方程，得到了很多新的(超、超对称、Frobenius代数值）的可积系统；（3）在一个统一的框架下，研究了KP方程族子族的附加对称；（4）引入并构造了Frobenius代数值的（约束）KP方程族的双哈密顿结构。除此之外，还有一些零星结果，如得到了与Halphen算子可换的算子满足的谱曲线递归计算公式等。