基于符号计算的若干非线性系统暗方程研究

Based on symbolic computation, symmetry theory, the direct method of constructing optimal system and the theory of dark equation , the following four aspects of nonlinear models in mathematical physics will be studied: (1) Develop Kupershmidt's method of dark equations, the classification of dark equations with some classical nonlinear systems will be investigated; (2) Construct the recursion operators, Lax pairs and bilinear forms of the dark equations, and develop the related software packages; (3) Based on the direct construction algorithm of the optimal system, explore one-dimensional and two-dimensional optimal classification of dark equations; (4) Construct the nonlocal symmetry of the obtained dark equation, a kind of interaction solution will be derived from similarity reduction, especially the interaction solutions between multi-soliton and other complex wave. Furtherly, some important inner relation and essential will be unconvered for nonlinear systems, which provides some new theory for nonlinear physics.

本项目将基于符号计算、对称理论、优化系统直接构造方法以及暗方程理论，研究数学物理中若干非线性模型以下四个方面的内容：（1）发展 Kupershmidt 的暗方程方法，研究若干经典非线性系统的暗方程分类；（2）构造暗方程的递推算子、Lax 对、双线性形式，并开发相关的软件包；（3）基于优化系统的直接构造算法，研究暗方程的一维和二维优化分类；（4）构造暗方程的非局域对称，通过相似约化求暗方程的多种相互作用解，特别是研究多孤子与复杂非线性波的相互作用解。进而揭示非线性系统中一些深层次的内在联系和本质，为非线性物理的实际应用提供一些新的理论依据。

本项目主要研究了若干非线性系统的精确解及可积离散格式：（1）构造了 KdV-Sawada-Kotera-Ramani 方程的孤子分子，并求得了该方程的完全对称群和一般的群不变解；（2）提出了新的弱耦合的 (3+1) 维 B-KP 方程，求得了该方程维度约化情形下的 lump 解和有理解，并对有理解进行了数值分析；（3）提出了 Alice-Bob Peakon 系统，并求得了该系统一些新形式的 Peakon 解 ；（4）研究了由 Hone 等（2018 Lett. Math. Phys 108927 ）提出的两种不同形式的广义短波方程，找出了它们与 DP 方程的短波近似和 Novikov 方程的短波近似之间的联系，并构造了这两种不同的广义短波方程的可积半离散格式，并给出了它们多孤子解的精确表达式。