多阶段年龄结构种群模型的动力学行为和控制问题的研究

Currently，many age structured population models are induced in the study of population dynamics, pest control, epidemic prevention and so on. This kind of model has become an important topic in mathematical biology and attracted many mathematicians. Ainseba has proposed a class of multi-stage, age-structured population models, which can describe the life cycle dynamics much better, and have become important tools in analyzing the control of biological population. But non-local transition processes arising as boundary conditions and individual growth difference add new difficulties to mathematical analysis. We are concerned with the dynamical behavior and control of multi-stage, age-structured population models. We will mainly investigate positive steady states, traveling wave solutions and biological control problems. We firstly consider the existence, stability and uniqueness of positive steady states. We then discuss the existence and nonexistence of traveling wave solutions, and threshold conditions. Then we look for the exact control of the multi-stage, physiologically age-structured population model with growth function. Finally, we study the stability of the parameters of the corresponding inverse problem. Combining numerical simulation, we hope to explore the information and ways to control the population size and spreading.

近年来，在种群动力学、病虫害防治、流行病防控等学科的研究中导出了许多具有年龄结构的数学模型，并引起了众多学者的广泛关注。由Ainseba等人提出的一类多阶段年龄结构种群模型，能够更好地刻画生物种群的生命周期。但是，生命阶段转化导致的非局部效应以及生物个体的生长差异性增加了相应问题的本质困难。本项目主要研究多阶段年龄结构种群模型的动力学行为和控制。重点探索多阶段年龄结构种群系统的正稳态解，行波解的性质及生物控制问题。主要内容有：研究此类系统正稳态解的存在性、稳定性以及唯一性；研究行波解的存在性、不存在性以及阈值条件；研究具有增长速率函数的多阶段年龄结构动力系统的精确控制，同时建立反问题来分析参数的稳定性，结合数值模拟给出严格的证明，从而对有害生物种群采取合理控制的策略提供依据。

种群系统的动力学和控制问题的研究，不仅具有重要的数学理论价值，而且与病虫害防治、流行病防控以及可再生资源的开发利用等问题息息相关。本工作完成了具有多阶段年龄结构的扩散种群模型的动力学行为和控制问题的研究。借助算子半群、非线性泛函分析、偏微分方程等理论，发展了已有的研究工具并找到了新的方法，建立了系统的理论，通过数值模拟验证了所得到的理论结果。基于多阶段年龄结构种群模型解的全局存在唯一性，完成了非零稳态解的存在性和分支问题的研究。根据紧算子理论和不动点定理给出了非零稳态解的存在性。应用Lyapunov-Schmidt约化理论，得到了幸存稳态是从灭绝稳态分支出来的结论。进一步完成了多阶段年龄结构种群系统控制问题的研究。关于具有非局部边界条件和年龄结构的反应扩散动力系统，通过建立优化控制，依据连续性理论得到了近似可控性，对有害生物种群采取合理控制的策略提供了依据。最后完成了扩散生物种群模型的行波解的研究，得到了斑块区域中具有双线性发生率的两种群SIR传染病模型的行波解的存在性阈值理论。当基本再生数大于1且速度大于临界波速时，应用Schauder不动点定理证明了系统行波解的存在性；当基本再生数小于1且速度大于0或基本再生数大于1，速度大于0且小于临界波速时，得到了行波解的不存在性。此外，本工作开展了传染病模型的动力学研究工作。首先，关于具有固定时滞的空间非局部反应扩散SIR传染病模型，研究了其全局动力学。刻画了一类具有时滞的概周期反应扩散方程的上Lyapunov指数，基于连续分离比较原理，给出了计算上Lyapunov指数的数值方法。另一方面，关于具有年龄结构和向量输入时滞的概周期多斑块SIR-SEI模型，基于斜积半流方法和比较原理，研究了概周期无疾病解的存在性，定义了基本再生比数，证明了该模型的阈值动力学行为。本工作为种群动力学、病虫害防治、流行病防控等学科的研究奠定了基础。