狄拉克上同调及相关问题

Dirac cohomology is an important invariant for Lie group representations. Due to its close relation with the shape of the unitary dual, the problem of classifying irreducible unitary representations with non-vanishing Dirac cohomology attracts people's attention. In this program, we will carry out three aspects of research regarding this problem: (1) investigate the distribution of the spin norm along pencils; (2) discuss the problem of classifying irreducible unitary representations with non-vanishing Dirac cohomology; (3) study problems related to the representation theory of Lie groups.

狄拉克上同调是李群表示的一个重要的不变量。不可约酉表示的狄拉克上同调是否为零与酉对偶的形状密切相关，因此给出不可约酉表示的狄拉克上同调是否为零的判定方法是一个大家关注的问题。本项目将针对该问题开展三个方面的研究：(1) 研究复李群的spin范数沿铅笔的分布情况； (2) 讨论狄拉克上同调不为零的不可约酉表示的分类问题；(3) 研究与李群表示相关的组合问题。

本项目主要研究狄拉克上同调非零的不可约酉表示的分类问题。我们得到了分类问题的有限性定理，相关论文在线发表在International Mathematical Research Notices上。我们还在复E6等例外型李群上得到了完整的分类结果。目前我们正在典型群上开展分类工作。本团队在组合数学方面也取得了一定的研究成果，相关论文发表在Science China Mathematics上。在本项目的资助下，本团队共发表12篇论文（含接受发表的论文），我们还完成了6篇论文。以本项目为依托，我们资助了几名博士生和硕士生。