环面拓扑和多面体的格点计数

We shall consider the classic problem of the enumeration of the lattice points in a convex polytope. It is well-known that this problem is closed related to the sheaf cohomology of toric varieties: for Delzant polytopes, it can be answered by Riemann-Roch theorem. We shall focus on simple polytopes or more general ones. For the calculation part, it is known that for 3-simplices Dedekind sums appear; Hirzebruch and Zagier showed that this is due to certain quotient singularities. We will try to find more relations to number theory by studying other canonical polytopes, by using cohomology.

本项目主要利用拓扑方法，即上同调计算，研究欧式空间里凸多面体包含的整格点数量这一组合问题。已知这个问题和代数几何里的环面簇的性质有着本质的联系：在Delzant多面体的情形，Riemann-Roch定理可以给出完全的解答。对于单纯多面体或者更一般的多面体，这个问题将是我们工作的主要方向。计算方面，已知三维单形的结果中会出现如戴德金和这样的算术量，Hirzebruch和Zagier的工作指出这些量的出现和奇点(singularity)有着紧密联系。如何用上同调解释这些算术量，以及对于其他多面体是否能得到其他有趣的算术量，将会是我们的工作重点。

本项目主要运用拓扑方法，对凸多面体中的格点计数问题进行研究。源于之前关于Delzant多面体的经典结果，即将该问题转化为环面代数簇的上同调环的计算问题。现阶段的主要切入点是利用其他上同调理论尝试得出更多的信息：在此思路下我们对投影光滑环面代数簇的KO群（实拓扑K群）进行了进一步研究，从而得到了具体的表达式。如果能进一步对KO同调的乘法结构进行研究，将很可能对格点计数问题得出进一步的结果。.我们得到KO群的主要方法是延续Bendersky和Bahri的想法。他们证明了此类环面代数簇的KO同调可以通过其模2上同调，作为Steenrod运算下的模结构，运用Adams谱序列并计算E2项的微分得到。在此基础之上，我们发现该Steenrod运算下的模结构和环面代数簇在复共轭下的不动点（实环面代数簇）的模2上同调有着紧密联系，而我们之前的结果正是对这些实环面代数簇的代数拓扑进行了系统的研究。作为一个副产品，我们也得到了这类实环面代数簇的整系数上同调群的结构。