格路的计数与分类

Lattice path is a classical research topic in combinatorics, which originates from nonparametric statistics, and penetrates into many branches of mathematics and physics. In the research and application of lattice paths, enumeration is one of the key problems. This project focuses on the following two problems: one is the classification of lattice paths in the first octant with small steps, which will provide a guidance on the enumeration of lattice paths; the other is looking for new involution-type interpretation, similar to nonintersecting paths, for determinant, in order to give combinatorial proofs of Krattenthaler's and Morales-Pak-Panova's conjectures.

格路是组合数学中的经典研究对象，开始于非参量统计学的研究，逐渐渗透到数学、物理的各个分支。在格路的研究与应用当中，最重要的就是格路的计数。本项目拟研究格路两方面的问题：一是三维空间中第一卦限短步集格路的分类问题，这将对格路的计数起到很好的指导作用；二是为行列式寻找新的类似于不交格路的组合解释，特别是要提供Krattenthaler和Morales-Pak-Panova猜想的组合证明。

格路（游走），即格点间的游走，具有定义简单、结构丰富的特点，因而能够与数学、物理的很多分支产生广泛而深刻的联系，成为组合学中长盛不衰的经典课题。.本项目主要研究格路的计数与分类及其相关问题。具体包括以下四个方面：（1）不交格路在组合学中的应用；（2）三维格路生成函数的分类；（3）EW-表的计数问题；（4）与对偶序列相关的和式的同余性质。.取得的主要进展和结果如下：.（1）通过在交错序列组上建立对合，将阶梯形状（以及挖掉一个更小的阶梯形的斜分拆上）的倒序平面分拆的生成函数表示为交错序列的生成函数的行列式形式。再由交错序列的生成函数恰好是欧拉数（Euler number）的q模拟，得到Morales-Pak-Panova猜想的组合证明。.（2）通过不交格路的方法，将Lascoux-Pragacz恒等式关于杨表的分解移植到倒序平面分拆上，将Morales-Pak-Panova猜想中对阶梯形的分解推广到一般形状。我们还将上述方法进一步推广到更一般的分解方式，即Hamel-Goulden型分解，从而也导出了关于倒序平面分拆的Jacobi-Trudi型和Giambelli型恒等式。此外，这个推广公式还蕴含了Hwang、Kim、Yoo和Yun的最新结果。.（3）通过建立从EW-表到其自身的双射，将EW-表的含零列数和像中的含零行数对应起来，从而证明了由Selig、Smith和Steingrimsson提出的猜想：固定大小和含零列数的EW-表是由欧拉数（Eulerian number）来计数的。.（4）孙智伟在讨论有关对偶序列和式的同余性质时，通过引进两组多项式，从前人的研究中提炼出大量同余式左边的一般表现形式，由此得到了一系列具有一般性的同余等式，并提出了若干猜想。我们利用数论和符号计算的方法证明并推广了其中的两个猜想。