高次有限体积法构造，理论分析及其应用

In this project, we will investigate the construction, analysis and applications of the optimal high-order finite volume schemes. We will first study the construction and error analysis of the 2D and 3D optimal high-order finite volumes schemes, and then apply these schemes to simulate the multi-phase flow in the porous media and to solve numerically the fully nonlinear Monge-Ampere equation.

本项目研究最优高次有限体积法的构造，分析和应用。我们将主要探讨2维和3维具有最优收敛阶的高次有限体积格式的构造和误差分析理论，并将这些有限体积格式应用于多孔介质多相流和Monege-Ampere方程的快速数值模拟。

本项目研究在科学和工程计算中广泛使用的有限体积法。通过构造一个特殊的从试探函数空间到检验函数空间的特殊映射，我们对一类任意次的有限体积格式的稳定性严格进行了统一的数学论证。在此基础上，我们分析了这类格式的能量范数误差， L2范数误差，无穷范数误差，负范数误差以及区域内部误差，在一定的条件下论证这些误差都具有最优的收敛阶。我们还发现了所构造格式的某些超收敛性，并从理论上和数值实验验证了这些超收敛性。我们并且把所构造的有限体积格式应用到了界面问题和多孔介质多相流的数值模拟，取得了很好的模拟结果。..我们取得的这些结果，对于有限体积法学科的发展具有很重要的科学意义。本项目所构造的有限体积法格式，对于复杂流体的高精度数值模拟，具有重要的指导意义。