多重耦合非线性偏微分方程组的奇性解

本项目将以申请人多年积累的处理各种耦合组问题的经验和前期工作为基础，借鉴国际学术前沿最新进展，研究多重耦合非线性问题奇性解的如下问题：奇性生成机理与临界指标；各分量奇性的区别与联系；blow-up或quenching 速率、点集估计，以及奇性传播过程中interface, profile，boundary layer演化估计等。"多重耦合"指两种或两种以上非线性耦合，包括由非线性扩散（二阶项耦合）、对流（一阶项耦合）、内源（零阶项耦合）、边界流（边界项耦合）等所形成的耦合。每种非线性都有特定的物理意义，其相互作用及多重耦合导致解的复杂的奇性生成机理与渐近行为。与弱耦合情形相比，高阶项耦合（即强耦合）具有本质性困难。本项目还将研究四阶抛物组的奇性解。由于比较原理不成立等原因，相关研究将更具挑战性。本项目预期就以上内容发表一批特色鲜明的研究成果，解决该领域1-2个公开问题或具有较大影响的问题。

关于非线性偏微分方程（组）解的奇性分析与临界指标的研究一直是本团队的传统优势方向，通过前四个项目的积累已有很好的基础。本项目继续深入研究了多个非线性抛物方程（组）奇性生成机理与临界指标，blow-up (或quenching) 速率及点集估计，奇性解中的interface， profile，boundary layer 演化估计等问题外，特别将关于Fujita临界指标的研究推进到伪抛物方程（组）问题、非局部扩散问题等非经典抛物方程（组），以及更深层次的关于Fujita第二临界指标的研究，取得一系列成果。我们还对非线性PDEs奇性解分析的主要工具之一的re-scaling方法做了本质性改进：不是从稳态解的存在与不存在性找矛盾，而是在稳态问题存在正解的前提下，进一步分析极限函数与该稳态问题正解之间关于空间变量的衰减阶是否一致，在这一更高层次寻找矛盾。在处理高阶问题时， 则把奇性分析工作延展到运用移动平面法证明高阶椭圆方程组的Liouville型定理上。值得一提的是，本项目以强耦合机制作为切入点，开始涉足Keller-Segel方程组的研究，并已得到关于非经典K-S方程组的多个重要结果（包括解决体积填充Keller-Segel方程组整体解渐近估计的一个公开问题），成为我们申请下一个基金项目的充分准备和坚实基础。