李（超）代数的多项式表示及其扩张

Lie theory is a fundamental tool in the study of the (super)symmetry. Its representation theory is exactly the content of symmetry. Polynomial representations (known as oscillator representations in physics) are the most natural representations in the study of symmetry, in which both the representation space and representation formulas are easy to get. Therefore, we want more polynomial representations. In this program, non-homogeneous polynomial representations of finite dimensional Lie (super)algebras will be studied, including a family of non-highest weight modules and a class of infinite dimensional representations obtained from non-homogeneous polynomial representations and mixed product. Representations of Lie superalgbras are more complicated than Lie algebras. Finite-dimensional representations of finite-dimensional simple Lie superalgebras may not be completely reducible. Representation theory for Lie superalgebras is not complete yet. Polynomial representations are examples for non-trivial extensions of finite-dimensional irreducible representations. Another content of this program is non-homogeneous polynomial representations and their extensions for simple Lie superalgebras.

李理论是研究事物（超）对称性的重要工具。表示论是李代数理论的重要组成部分，也是对称性的重要体现。多项式表示（物理上称为oscillator表示）是对称性研究中最自然的表示，在数学和物理等许多领域都起着非常重要的作用。多项式表示的一个显著优点在于表示空间和一般向量的作用公式都很明确。因此，我们希望得到更多的多项式表示。本项目的研究内容之一是研究多项式空间上有限维单李（超）代数的非齐次多项式表示的结构，其中包括单李代数的一类无限维非最高权表示与利用非齐次多项式表示与混合积构造的无限维表示。李超代数的表示比李代数的表示复杂。一般来说，有限维单李超代数的有限维表示不一定完全可约。李超代数的表示理论还不甚完善。单李超代数的多项式表示，为有限维不可约表示的非平凡扩张提供了实例。本项目的另一研究内容是单李超代数非齐次多项式表示及扩张。

李理论是研究事物（超）对称性的重要工具。表示论是李代数理论的重要组成部分，也是对称性的重要体现。多项式表示（物理上称为oscillator表示）是对称性研究中最自然的表示，在数学和物理等许多领域都起着非常重要的作用。多项式表示的一个显著优点在于表示空间和一般向量的作用公式都很明确。因此，我们希望得到更多的多项式表示。利用沈光宇的混合积表示，可以构造李代数的非齐次扩张。李超代数的表示比李代数的表示复杂。一般来说，有限维单李超代数的有限维表示不一定完全可约。李超代数的表示理论还不甚完善。单李超代数的多项式表示，为有限维不可约表示的非平凡扩张提供了实例。本项目构造并研究了奇异单李超代数的非齐次多项式表示，找到了正交李代数的非齐次扩张不可约的充要条件，构造了从特殊线性李代数模范畴到辛李代数的模范畴、半单李代数模范畴到李超代数模范畴的函子。