含负指数非线性项的椭圆型偏微分方程的正解

Elliptic partial differential equations (PDEs) with negative exponents are applied widely in modeling thin film problems of viscous fluids, Micro-Electromechanical Systems (MEMS), the magnetic oscillation in physical materials, mean curvature problems and curve shortening problems in Geometry, and etc. This project will be focussed on the analysis of positive solutions to two classes of elliptic PDEs with negative exponents: one arises in modeling MEMS devices, and the other one arises in modeling the magnetic oscillation. The specified research problems include: (1) We study the existence of symmetry breaking solutions (especially axially symmetric ones), by applying bifurcation theory, linearized operator theory, and etc. (2) Employing elliptic regularity theory and other arguments, we classify positive solutions in terms of the smoothness near the origin. (3) Using infinite-dimensional dynamical systems theory and other methods, the refined singular behavior of positive solutions is also discussed. Research outcomes in the present project could contribute to the further development of theory and methods in elliptic PDEs with negative exponents.

含负指数非线性项的偏微分方程在粘性流体中的薄膜（thin film）问题、微机电系统(MEMS)数学模型、物理中的电磁振荡、几何中的平均曲率问题以及曲线收缩问题等领域有着广泛的应用。本项目将重点分析两类含负指数非线性项的椭圆型偏微分方程的正解: 一类源于微机电系统(MEMS)模型，另一类源于电磁振荡模型。具体研究的内容包括：(1) 应用分支理论及线性化算子理论等方法，证明非对称解(尤其是具有轴对称性的非对称解)的存在性; (2) 运用椭圆正则性等技术，根据正解在原点处的光滑性对正解进行分类；(3) 采用无穷维动力系统理论等方法，探讨正解的精确奇异行为。本项目的研究结果将有助于完善含负指数非线性项的椭圆型偏微分方程理论和方法。

本项目主要研究了源于物理材料中的电磁振荡模型、微机电系统(MEMS)模型的含负指数非线性项的椭圆型偏微分方程问题。具体来说，针对R^2平面中模拟电磁振荡模型的奇异椭圆方程，证明了正径向解的存在性与无穷多重性、奇异正径向解的存在性与唯一性，分析了该类正解在解析无穷远处的振动行为；通过运用椭圆方程正则性理论巧妙地建立Harnack型不等式，给出了奇异正解涡旋点的下确界估计与解析分类；在此基础上，应用无穷维动力系统理论、Fourier分析等方法，本项目对涡旋点的局部渐近行为进行了二次精确描述。另一方面，在已有微机电系统(MEMS)研究工作的基础上，本项目研究了外压力作用下的MEMS椭圆方程，分析了临界应用电压的存在性及其对外压力作用的依赖性。另外，本项目在质量近似临界的非线性薛定谔方程、波色-爱因斯坦凝聚（BEC）中的非线性约束泛函等问题的研究方面，也取得了一些有意义的进展。在国际期刊J. Functional Analysis、Letters in Mathematical Physics、J. Differential Equations等杂志上现已发表论文3篇（另有一篇论文正在审稿之中）, 正在完稿一篇；在本项目的资助下，2013年短期出访加拿大McGill大学近一个月，参加两次国际学术会议，先后短期访问华东师大PDE中心、南开大学陈省身研究所，多次邀请国内外同行开展学术合作与交流。