拟共形映射、全纯自同构和函数空间的若干问题

The theory of quasiconformal mappings is an important part in several complex variables. It is closely related to holomorphic automorphisms and function spaces. By using properties of quasiconformal mappings on Carnot groups, members of this project will establish the Beltrami equations for quasiconformal mappings on certain algebraic surfaces which is non-degenerate and homogeneous. Then combing with the holomorphic automorphisms of surfaces, they will give the expression of 1-quasiconformal mappings on such surfaces and their associated Carnot groups. By the method in Levi non-degenerate cases, this project will obtain the holomorphic automorphisms on a class of Levi degenerate real hypersurfaces. Also, it will give the description of the degenerate surfaces with non-trival holomorphic automorphisms. In this project, the metric definition of quasiconformal mappings on non-Archimedean fields will be introduced, and by discussing the relation between quasiconformal mappings and BMO as well as Sobolev spaces, other appropriate defintions will be established. This project will introduce two kinds of function spaces. By the theory of real variables and the properties of non-Arichimedean metric, it will obtain the descriptions and embedding properties of these two spaces, and will establish the boundedness of several classical operators and their commutators on the corresponding spaces. The breakthrough of these problems will further improve the rigidity theory of quasiconformal mappings on Carnot groups, and will promote the research on the local properties of real submanifolds in complex spaces. It will present some idea and methods for the study of analysis on non-Archimedean spaces.

拟共形映射理论是多复变函数论的重要组成部分，它与全纯自同构和函数空间有密切关系.本课题拟利用Carnot群上拟共形映射的性质建立非退化齐性代数曲面上拟共形映射的Beltrami方程组，结合曲面的全纯自同构，给出这些曲面及所对应Carnot群上1-拟共形映射的表示；拟利用Levi非退化曲面中的方法，给出复空间中一类Levi退化实曲面的全纯自同构，及具有非平凡全纯自同构的这种类型曲面的刻画；拟在非阿基米德域中，给出拟共形映射的度量定义，通过与BMO空间和Sobolev空间关系的讨论，确定其它合理的定义方式.拟在该域中引进两类函数空间，利用实变理论并结合非阿基米德度量特点，给出其等价刻画及嵌入性质，并证明几类经典算子及交换子在相关空间中的有界性.这些问题的突破将进一步完善Carnot群上拟共形映射的刚性理论，有助于推动对实子流形局部性质的研究，并可以为研究非阿基米德空间中的分析提供思路和方法.

本项目主要研究拟共形映射、全纯自同构及函数空间的相关问题. 拟共形映射理论是多复变函数论的重要组成部分，它与全纯自同构和函数空间有着密切的关系. 该课题利用Carnot群上拟共形映射的性质建立了一类非退化齐性代数曲面上拟共形映射的Beltrami方程组，并证明了该曲面及所对应Goursat群上的1-拟共形映射是CR或反CR映射，这将1-拟共形映射的确定问题约化为CR流形的CR自同构问题的确定，这也是多复变理论中的一个基本问题. 利用调和分析方法证明了VMO-Teichmuller空间的代表元素——强对称同胚的一种特殊拟共形延拓的复特征诱导了单位圆上一个消失的Carleson测度. 在研究拟共形映射的同时，讨论了渐进Teichmuller空间上的度量几何，包括测地线之间角度的存在性及其表达式、测地线段的非唯一性等问题. 利用Levi非退化曲面中的方法，给出一类高次Levi退化超曲面在原点附近的实解析无穷小CR自同构，并得到该超曲面在原点附近所有局部全纯自同构包含恒等变换的联通分支. 在非阿基米德域中，引进了几类中心函数空间，讨论了这些空间的性质，并证明了几类经典算子及交换子在这些空间中的有界性. 在Heisenberg群上，得到了几类积分算子在相关空间中的最佳估计. 此外，我们研究了Riemann–Liouville积分算子在Morrey空间中的有界性和紧性. 利用固定点定理，得到关于分数次微分方程的一类Cauchy型问题解的存在唯一性.