拟共形映射与Teichmuller 空间的若干问题

In this project we will study the geodesics in asymptotic Teichmuller spaces, subsidence problem of extremal quasiconformal mappings and extremal problems of a class locally quasiconformal mappings. All those are essential and important problems in the theory of extremal quasiconformal mappings and Teichmuller spaces. We have obtained some initial progress and have a complete idea of solving these problems. These laid a solid fundation for us to achieve our research goal.

本项目研究渐近Teichmuller空间测地线问题，极值拟共形映射的塌陷问题与一类局部拟共形映射的极值性等问题。这些都是拟共形映射理论与Teichmuller空间理论中基础而重要的问题。这些问题的进展对拟共形映射理论与Teichmuller空间理论都具有重要意义。 对于这些问题我们已经取得了初步成果，并且有了解决这些问题的整体构想，为我们实现研究目标奠定了坚实基础。

证明了如果复特征μ是渐近极值的，而且存在单位园边界点p使得μ在p点的局部边界伸缩商小于μ的边界伸缩商，那么在万有渐近Teichmüller空间中存在无穷多条测地线连接[[0]]与[[μ]],作为其推论，我们给出了在万有渐近Teichmüller空间中的复特征是唯一极值的一个必要条件。我们推广了基本的Reich构造定理，证明了在万有 Teichmüller空间中存在非Strebel点，使得其所有单位园的边界点均为本质边界点，揭示了这样的点的集合包含了万有Teichmüller空间的实无穷维子流形，并且给出了该结果的一些应用。证明了在万有渐近Teichmüller空间中，对于任意渐近极值的拟共形映射f, 总存在与f渐近等价的g,使得f与g的逆的复合而成的拟共形映射的边界伸缩商不等于零，在渐近万有Teichmüller空间的基点处的切空间上也得到类似结果。我们对一类局部拟形映射定义了一个万有Teichmüller空间，该类局部拟形映射的伸缩商增长速度不超过特定速率。我们证明了广义Teichmüller类中极值映射的存在性和唯一性的结果。此外，我们证明了由此产生的拟对称函数的一些性质。根据上半平面内Poisson积分的边界性质，构造了两类有理函数算子，并给出它们的平均收敛速度和一致收敛速度的估计. 根据上半平面内Poisson积分的边界性质，构造了两类有理函数算子，并给出它们的平均收敛速度和一致收敛速度的估计. 研究了给定极点位于上半平面内的正交有理函数的递推关系以及相应有理测度的弱收敛性. 给出了第二类Chebyshev结点上的二元Lagrange插值多项式的平均收敛速度估计。