C-C空间中拟共形映射的刚性及其相关问题

拟共形映射理论是多复变函数论的重要组成部分，本课题将在近年来研究工作的基础上，通过建立拟共形映射所满足的Beltrami方程，研究高步Carnot群上1-拟共形映射的刚性问题，并求出该映射的表达式；拟利用一致正则C-C（Carnot-Caratheodory）空间的局部CR结构可以被Carnot群的CR结构逼近的特点，结合Carnot群中的方法，研究C-C空间中的拟共形映射，推导出该映射所满足的Beltrami方程，并进一步得到1-拟共形映射与CR映射之间的关系；拟给出一些高维Levi退化的超曲面模型，利用幂级数展开的方法，推导出这些模型的全纯自同构的表达式。这些问题的突破将丰富和完善Carnot群及C-C空间中拟共形映射的刚性理论，并将推动复空间中实子流形的局部性质的研究。

本课题的研究计划已基本上完成。通过建立拟共形映射所满足的Beltrami方程，得到一类高步Carnot群及一类一致正则C-C（Carnot-Caratheodory）空间中1-拟共形映射的刚性结论；给出一类高维Levi退化的超曲面模型，利用幂级数展开的方法，推导出这些模型的实解析无穷小CR自同构的表达式；利用旋转法，得到p-进Hardy及Hardy-Littlewood-Polya算子在加幂权Lebesgue空间中的最佳估计。此外，还得到这些算子与中心BMO函数的交换子在Herz空间中的有界性.