格的数学结构及其在编码与密码学中的应用

Lattices including their constructions, mathematical quantities, automorphisms etc are the classical topics in discrete geometry, geometry of numbers, group theory and algebraic geometry. In coding and cryptography, lattices are the basic tool for coding construction , cryptanalysis and cryptography. In this project, we will concentrate on the following key problems of the mathematical structures of lattices: (1) the mathematical structure of lattices, especially the relations of mathematical quantities of lattices as a basic mathematical object in the intersections of algebra, discrete geometry and number theory; (2) the construction skills in the lattice sphere packing problem which is the classical topic of number theory and discrete geometry; (3) based on the progress of the mathematical structural understanding of lattices, we will apply the above results to the coding and decoding of lattices and lattice-based cryptanalysis.

格是欧氏空间中线性无关向量整系数线性组合形成的离散Abelian群并带有欧氏空间的度量，研究格的数学结构包括格构造，格的各种数学量的关系，格的自同构群等一直是离散几何，数的几何，代数及代数几何的交叉研究内容，格在编码理论与密码学是基本的构造工具和算法工具，近年来基于格的密码分析和格密码学的快速发展，格的数学结构的基础研究成为非常紧迫的需要。本项目力图围绕以下几个方面解决关于格的数学认识的关键问题：（1）格的数学结构，尤其是格作为代数、离散几何、数论的交叉研究对象的多种数学量的关系；（2）格球堆积作为离散几何和数论的交叉研究对象的构造方法与技巧；（3）在对格的以上数学结构深入理解基础上，将成果应用于格编码和基于格的密码分析。

本研究项目执行年限是2016年至2020年，由暨南大学陈豪团队和中国人民解放军国防科学技术大学数学系李超团队合作承担本项目研究任务。本项目按计划执行，在格的数学结构，编码理论，格密码学的数学基础，格算法及格挑战，RSA和NTRU相关相关数论问题，密码函数的数学性质，代数几何等领域完成原定研究计划，取得一系列成果。本项目完成论文54篇，其中包括Journal of Differential Geometry （1篇）, Transactions of American Mathematical Society （1篇）, Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux （1篇）, IEEE Transactions on Information Theory（18篇）。举办国际国内研讨会四次和国内外相关领域专家学者交流，陈豪研究团队和国防科技大学团队承担国防保密单位委托项目两项，得到国防保密单位领导高度评价。 本项目在研期间，项目组成员屈龙江教授2017年获得国家基金委信息二处优秀青年科学基金资助，项目组2020年获得信息二处重点项目“格算法设计优化及其应用”资助，是数学处本项目研究在信息领域交叉的自然延伸。