高维系统全局动力学与多参数稳定性

（1）延拓待定系数法，研究四维或更高维系统同宿轨、异宿轨的存在性。（2）在奇点园附近，寻找合适的blow up坐标变换，简化高维系统稳定流形、不稳定流形的叶层结构的纤维丛刻画，揭示其精细的几何结构，简化高维系统中单脉动、多脉动同宿轨存在性相关结果中的某些假设条件，建立单脉动、多脉动同宿轨存在性的若干新的充分条件，尝试将扰动Hamilton系统单脉动、多脉动同宿轨的存在性理论推广到非Hamilton扰动情形，建立高维系统全局分岔及混沌的判定准则。（3）研究多参数高维系统特征曲面、稳定边界的刻画问题，将线性系统中的部分理论结果尝试推广到非线性系统；研究特征曲面、稳定边界的几何性质（如：奇异性及其演化），揭示系统的模态相互作用、动力响应和失稳特性。研究高维系统多参数稳定性、分岔及混沌动力学行为是一个困难且具有重要理论意义和应用价值的前沿热点问题。

本课题主要研究：高维系统单脉动、多脉动同宿轨存在性，建立全局分岔及混沌运动的Silnikov型判据；延拓、改进待定系数法，研究某些四维系统中同宿轨的存在性；研究高维系统多参数稳定性和分岔问题。在上述各研究领域均取得了预期或超出计划的研究成果，另外还在混沌控制、神经网络周期解的存在性等研究领域取得了若干有意义的研究结果。主要结果如下：. (1)研究了谐波激励下1:1内共振简支矩形金属板和1:1内共振带缺陷圆板系统的全局动力学。在具有Hamilton扰动及耗散扰动两种情形下，运用Kovacic-Wiggins全局摄动法和能量-相位法，研究了系统同宿于慢流形的单脉动和多脉动同宿轨的存在性，给出了同宿轨存在的充分条件，建立了系统出现Smale马蹄混沌的Silnikov型判据。. (2)研究了一类非线性受迫悬索系统主共振和1:1内共振时的全局动力学。在Hamilton扰动及耗散扰动两种情形下，得到了系统存在同宿于慢流形的多脉动同宿轨的充分条件，并给出了脉动数和层半径序列与相位差的关系图，建立了系统出现Smale马蹄混沌的Silnikov型判据。研究结果表明：对于耗散扰动，系统随着耗散因子的增加，脉动数和层半径对参数的依赖性越来越敏感，在一定条件下，系统阻尼增大或外激励减弱，导致多脉动同宿轨的脉动数急剧减少，与数值模拟和实验结果一致。揭示出系统模态间的能量传递以及模态间不同尺度的时间效应是脉动同宿轨产生的根本机理，并得到了一些新的动力学现象。. (3)分别研究了两耦合参激van der Pol振子单脉动同宿轨、主共振外激励循环系统多脉动同宿轨的存在性，给出了相应的存在条件和系统出现Smale马蹄混沌的Silnikov型判据。. (4)研究了两类四维二次系统的分岔与混沌运动，分析了系统的分岔特性，用待定系数法找到了系统的同宿轨，证明了轨道展开式的一致收敛性，给出了系统产生混沌运动的机理和相应的参数条件。. (5)分别研究了不可压缩流中具三次非线性二元机翼模型、一类大展弦比机翼非线性模型和超音速流中受热壁板模型的稳定性与分岔问题。得到了系统发生Hopf分岔(颤振运动)的转迁曲线，系统发生benign颤振(超临界)、catastrophic颤振(次临界)的识别条件，以及系统发生混沌运动的条件和通向混沌运动的途径，对飞行器参数设计与控制有指导意义。