高维退化快-慢变系统动力学及在充液晃动容器内表面波研究中的应用

The global dynamics of high-dimensional degenerate fast-slow systems is the cutting-edge research aspect of nonlinear dynamics. This project is focused on the investigations of the following problems. (1) The homoclinic bifurcations and chaotic dynamics of high-dimensional fast-slow systems are studied for these degenerate cases that critical manifolds are non-normally hyperbolic, and the stable manifolds, unstable manifolds of some invariant sets are non-transversal . Applying bifurcation and singularity theory, blow up transformation method, and tracking invariant manifolds method etc, the simpler fibrations of the sheaf of the invariant manifolds, some sharp estimates of the flow evolution, the sharp expressions of the Poincare mappings, and of the Melnikov functions are derived. Some new sufficient conditions are established for the existence of the single-pulse homoclinic orbits and the multi-pulse homoclinic orbits (heteroclinic orbits) of the high dimensional degenerate fast-slow systems, and some new criteria for chaos are also established. (2) With some resonance conditions, we study the dynamics of surface waves (belong to fast-slow systems) in a rectangular liquid tank and a circular cylinder subjected to vertical excitation, horizontal excitation, or combining excitations. Some sufficient conditions are established for the existence of the single-pulse homoclinic orbits and the multi-pulse homoclinic orbits (heteroclinic orbits) and chaos route. (3)The pattern choice of surface waves is studied. The routes from a pattern corresponding to a high order isotropy subgroup branching to another pattern corresponding to a low order isotropy subgroup via symmetry-breaking are found, and the evolution of mode choice of surface waves is also revealed.

高维退化快-慢变系统全局动力学是非线性动力学的前沿研究领域。本项目拟(1)研究高维快-慢变系统临界流形非法向双曲以及相关不变集的稳定流形与不稳定流形非横截相交时的同宿分岔和混沌动力学问题，拟结合分岔奇异性理论，blow-up变换方法，不变流形追踪方法等，简化不变流形叶层的纤维丛表示，获得更精细的流演变估计式、Poincare映射和Melnikov 函数表达式等，建立高维退化快-慢变系统单脉动、多脉动同宿轨（异宿轨）存在性若干新的充分条件以及出现混沌运动的判据。(2)研究受垂直激励、水平激励或组合激励时矩形和圆柱形容器中表面波模型（属快-慢变系统）在各种共振条件下单脉动、多脉动同宿轨的存在性以及出现混沌运动的条件和路径等。(3)研究上述表面波系统的模式竞争分岔行为，包括由高阶迷向子群对应的表面波模式经对称破缺分岔为低阶迷向子群对应的表面波模式的途径等，揭示表面波系统模态竞争的演化规律等。

本课题主要研究内容是：(1)高维快-慢变系统临界流形非法向双曲时的同宿分岔和混沌动力学问题；(2)受各种激励时矩形容器或圆柱形容器中表面波系统，单脉动、多脉动同宿轨的存在性、分岔和混沌动力学问题。.主要结果如下：(1) 使用多尺度方法、正规形理论、全局摄动法、能量相位法和广义Melnikov等研究了几类高维快-慢变力学系统临界流形具有各种奇异性时的分岔和全局动力学，得到了多种有序或无序的复杂快-慢混合振荡模式，以及系统存在单脉动、多脉动同宿轨的各类充分条件，并建立了系统存在Smale马蹄混沌的参数判据，另外还发现了可控频率、混沌带及其演化规律等一些新的非线性动力学现象。(2)输流管动力学行为往往与不稳定性、多尺度效应和时空混沌复杂现象相联系，严格证明了水平悬臂管在外激励和变流速情形下Silnikov型多脉动同宿轨的存在性，给出了系统产生Smale马蹄混沌的参数条件；建立了受张力和涡流耦合作用立管的运动模型，获得了系统出现拟周期、混沌运动等复杂动力学行为的参数条件等。(3)研究了二维等熵Euler方程组Riemann问题解的结构，得到了12种含滑移面的解的结构，补全了等熵Chaplygin气体二维Riemann问题解的结构的所有情形。研究了该问题的极限情形，对于Chaplygin气体，严格证明了：随着压力的消失，任一含两个稀疏接触间断的Riemann解最终均趋于真空状态；任一含两个压缩接触间断的Riemann解最终均趋于一个delta激波，这一发现为研究物理现象中畸形波的形成提供了理论依据。(4) 肿瘤抑制因子p53通过诱导细胞周期停滞或凋亡而在DNA损伤反应中起着核心作用，在p53-Mdm2振荡器模块中引入普遍存在的转录和翻译延迟，建立了DNA损伤反应中延迟的p53调控网络的通用模型，研究了p53调控网络在DNA损伤反应中的动力学。引入了microRNA 192 (miR-192)介导的正反馈环，构建了一个包含七个主要成分和两个关键时滞的p53延迟调控网络的一般模型，研究发现，时间延迟和miR-192均可以通过促进p53振荡或高水平表达发挥抑癌作用，为靶向miR-192和时间延迟促进抗癌药物的开发提供指导。发表期刊学术论文46篇，其中SCI收录45篇。