双变量与多变量基本超几何级数的研究

The basic hypergeometric series plays important role in combinatorial mathematics, theoretical physics and computer algebra. It is a major task to find new summation and transformation formulae of the bivariate and multiple basic hypergeometric series. The existing formulae are relatively few and transformations are mostly relative to the q-Clausen series, while the literature about higher-order basic hypergeometric series is relatively not too much. Utilizing Sears transformation and Watson transformation formulae of the _4\phi_3 series, the applicant established a class of terminating and semi-terminating summation and transformation formulae for the q-Kampe de Feriet series. Based on the applicant’s research work, this project will further investigate the double and multiple hypergeometric series by means of the series rearrangement technique and the multiple inversion. A series of transformation and reciprocal relation in this area will be derived，while a class of closed formulae will be obtained.

q-级数（即基本超几何级数）理论在组合数学、理论物理、计算机代数中有非常重要的应用。发现新的求和公式与变换公式是双变量与多变量基本超几何级数方向的主要研究课题，而现有的变换公式与求和公式数量相对较少，且大多考虑的是q-Clausen级数，利用_4\phi_3级数的Sears变换和Watson变换，申请人建立了一批终止型和半终止型的双变量基本超几何级数的变换公式与求和公式，其中部分公式推广了已有的q-Clausen级数的结果。基于申请人已经完成的利用级数重排建立q-Kampe de Feriet 级数变换公式与求和公式的研究工作，本项目旨在进一步研究级数重排技巧与Multiple反演在基本超几何级数方面的应用，推到一批新的双变量与多变量基本超几何级数的变换公式与互补关系式, 并获得一系列封闭性求和公式。

反演理论与级数重排技巧在组合论、特殊函数以及数论等领域有着广泛的应用。本项目旨在研究已知的互反关系与级数重排技巧在超几何级数与q-级数中的应用。.围绕该研究目标，项目组成员从以下四个方面进行了探讨：.1.利用线性分解方法与级数重排技巧，建立含有两个额外的整数参数与自由变量的一类超几何级数$_3F_2$的变换公式，推导了一批非终止型超几何级数的封闭性求和公式。.2.借助级数重排技巧，把线性化方法应用于基本超几何级数，建立了几个个关于含有两个额外整数参数的$_4\phi_3$级数的解析公式，并推得此类级数的封闭性求和公式。同样的，利用级数重排技巧与线性化方法还获得q-Gauss公式与q-Chu Vandermond和式的解析关系式及其封闭性求和公式。.3.在利用多重反演推导互补关系式的过程中，发现基于有限差分算子，利用telescoping方法，可以建立三个非终止型级数$_2F_1$的封闭性求和公式。其中包含Maier 和 Ebisu(2013) 的看起来比较神秘的$_2F_1$级数作为特例。.4.用超几何级数方法，给出了孙志伟教授提出的关于二项式系数的无穷级数的三角函数表达式猜想的更为直观的证明，并获得另一个与之对应的结果。另外，根据一对著名的Lambert级数，推算出一系列关于二项式系数与Abel系数的多重卷积的封闭性求和公式。