Maxwell 方程组非平凡解的存在性与动力学分析

It is well known that the Maxwell equations reveal the essential unitarity of optical, electric, magnetic phenomena, it not noly provide insight into the nature of electromagnetism, but also build the basis for the mathematical description of all electro-magnetic phenomena, and in particular of optical waves. The Maxwell equations constitute the core of the electromagnetism which have been widely employed in fields such as radio, communication, television, remote sensing, optical engineering, biomedical engineering, geophysics, aeronautics and astronautics. In this proposed research, we will use the variational method and the critical point theory to explore some key issues for the Maxwell equations. Among these issues are the existence and multiplicity of nontrivial solutions, cylindrically symmetric solutions and ground state solutions of Nehari-Pankov type, the existence and non-existence of classical solutions, as well as some dynamical properties of the semi-classical solutions such as the existence, decay property, concentration phenomena and convergence, etc. Based on the existing analytical theory, we expect to develop some novel and more effective techniques and methods which will enable us to obtain some essentially new results. These studies will significantly contribute to the investigation of the Maxwell equations and other vartiational problems, as well as the development of critical point theory and nonlinear analysis theory.

众所周知，Maxwell方程组揭示了光、电、磁现象本质的统一性，深刻反映了电磁场运动的实质和特性，奠定了对电磁现象(特别是对光波)的数学分析基础。以Maxwell方程组为核心的电磁理论广泛应用于广播、通信、电视、遥感、光学工程、生物医学工程、地球物理及航空航天等领域。本项目将利用变分方法和临界点理论重点研究Maxwell方程组的核心问题：非平凡解、圆柱型对称解和“Nehari-Pankov型”基态解的存在性与多重性；经典解的存在性与非存在性；半经典解的存在性、衰减性、集中性和收敛性等动力学性态。结合已有的分析理论，深化、开拓一些新的数学工具，寻求和发展新的思路、新的方法和技巧。建立反映Maxwell方程组自身特点的若干全新的、本质的理论成果。推进Maxwell方程组和变分问题研究的突破性发展，进一步促进临界点理论和非线性分析理论的研究。

Maxwell方程组揭示了光、电、磁现象本质的统一性，深刻反映了电磁场运动的实质和特性，奠定了对电磁现象(特别是对光波)的数学分析基础。以Maxwell方程组为核心的电磁理论广泛应用于广播、通信、电视、遥感、光学工程、生物医学工程、地球物理及航空航天等领域。本项目利用变分方法和临界点理论重点研究Maxwell方程组的核心问题：非平凡解、圆柱型对称解和“Nehari-Pankov型”基态解的存在性与多重性；经典解的存在性与非存在性；半经典解的存在性、衰减性、集中性和收敛性等动力学性态。通过发展新的分析方法与技巧，深化和开拓数学工具，建立了反映方程组本身特点的若干全新的、本质的理论成果。依托该项目，我们在国际主流学术期刊《J. Differential Equations》、《Bull. Sci.math.》、《J. Geom. Anal.》、《Nonlinear Anal.》等刊物上发表了SCI学术论文近16篇，其中ESI高被引论文2篇。本课题核心与关键科学问题的解决，也为临界点理论与非线性椭圆方程定性理论的研究注入新内容、创造新思想和新方法，推进非线性分析方法在现代物理数学与微分方程理论中的应用与发展。部分成果已获湖南省自然科学奖三等奖（《变分理论在非线性数学物理方程中的应用》（No. 20202160）），并在国际学术领域取得相应影响。研究成果被德国、希腊、波兰、意大利、巴西、罗马尼亚等十余个国家的许多学者关注与引用。值得特别指出的是，他引论文中有不少发表于《J. Differential Equations》、《Calc. Var. Partial Differ. Equ.》与《Bull. Sci. Math.》等国际一流刊物。