微分算子特征值的最优估计

In this project, we are concerned with the optimal estimations for eigenvalues of differential operators. Eigenvalue and spectrum have many insightful applications in mathematics and applied sciences. Though a large theory has been developed, this topic has faced many challenging problems. Our recent works have revealed out very strong continuous dependence for eigenvalues of some typical operators on potentials and weights. With this, we have recently solved several basic minimization /maximization problems on eigenvalues. In this project, we will further study several important and difficult extremal problems for eigenvalues of some typical operators. This appeals for many techniques from nonlinear analysis, topological and geometric structure of Banach spaces and Hamiltonian systems. On one aspect the present work will sharpen our understanding on linear systems, and on the other aspect it will become the foundation of analysis problems for nonlinear equations.

本项目研究微分算子特征值的最优估计。特征值（谱）在数学和应用科学中具有广泛的应用，其理论非常丰富，同时充满了挑战性的问题。我们的近期工作揭示出几类典型微分算子的特征值对于位势和权函数具有非常强的连续依赖关系，并基于此关系解决了一些基本的特征值极小值和极大值问题。本项目将在以上结果的基础上，应用非线性分析、Banach空间的拓扑几何结构、Hamilton系统等方面的理论和方法，来研究几类典型微分算子特征值的若干重要而又在分析上非常困难的极值问题。本项目的研究可以加深对于线性系统的理解，并为我们进一步研究非线性系统的分析问题奠定良好的基础。

本项目旨在研究几类典型微分算子特征值的最优估计。本项目已达到预期的目标，其具体的研究成果如下：（1）四阶常微分方程特征值的最优估计。采用了新的逼近方式，结合特征值的连续性质，得到了四阶方程特征值的最优估计。（2）二阶Camassa–Holm方程特征值的连续性和最优估计。我们建立了Camassa–Holm方程特征值关于权函数在弱拓扑下的连续性结论。这是已知文献中，最强的连续性结论。通过变分原理，我们解决了Camassa–Holm方程特征值的极值问题。本项目共发表相关研究论文10篇，其研究成果具有重要的理论价值和科学意义。此外，我们还研究了其他一些与本项目相关的极值问题，并将在后续的研究工作中继续关注这些问题和一些尚未解决的重要问题。