黎曼流形上的椭圆算子特征值与结点集界的估计

Spectrum of the elliptic operators on the complete Riemannian manifolds are closely related to differential geometry, partial differential equations, mathematical physics and so on. Therefore, the research of eigenvalue is a hot topic among lots of scientific fields. Firstly, for this projection, we plan to investigate the eigenvalues for the Dirichlet problem of Laplacian on complete Riemannian manifolds in this projection, and, according to Cheeger-Colding’s theory, we shall give the intrinsic estimates for the bounds of the higher order and the gaps of the consecutive eigenvalues. Secondly, we shall consider the node set of some elliptic operators of the closed eigenvalue problem on the smooth metric measure spaces and give some sharper estimates for the corresponding bounds. The last purpose of this projection is to study the buckling problem and the clamped plate problem, and generalize the corresponding results to the metric measure spaces by using some geometric rigidity.

完备黎曼流形上的椭圆算子的谱与微分几何，偏微分方程，数学物理等学科领域有着密切联系。因此，特征值的研究目前是众多领域的热门课题之一。首先，本次项目拟研究完备黎曼流形上的Laplace算子的Dirichlet问题的特征值,利用Cheeger Colding理论给出高阶特征值的界以及相邻特征值的间隙的内蕴估计。其次,考虑黎曼流形上的一类椭圆算子的闭特征值的节点域，拟给出光滑度量测度空间上一些椭圆算子的闭特征值的结点域的更好的估计。本项目最后一目的是拟研究buckling问题以及clamped plate问题的高阶特征值估计，并根据一些几何刚性性质将结果推广到度量测度空间上。

本项目主要研究黎曼流形上的椭圆算子的特征值估计，且取得了一系列重要的研究进展：首先，我们给出了完备黎曼流形上具有几何流背景和理论物理背景下的drifting-Laplace算子的特征值不等式，这些估计在几何流上将有一些重要的应用；其次，本项目研究了Xin-Laplace以及Bi Xin-Laplace算子的特征值估计，特别地，我们建立了平移孤立子上的万有不等式；再次，本项目考虑了欧式空间中有界域上的一类重要的非局部算子：分数阶Laplace算子的低阶特征值问题，获得了一个万有不等式；最后，关于黎曼流形上的椭圆算子特征值问题的结点域方面的研究目前还正在进行之中。通过本项目的资助，项目主持者与其合作者共发表SCI学术论文11篇。在人才培养方面，项目主持者目前培养了硕士研究生9人，其中3人已经毕业，且硕士毕业生共发表SCI论文3篇。另外，在国家自然科学基金的资助下，项目主持人曾主办学术会议两次，且作为独立完成人获得江西省自然科技奖一项。