特征值的强连续依赖性质和极值问题

Eigenvalue and spectrum have many insightful applications in mathematics and applied sciences. Though a large theory has been developed, this topic has faced many challenging problems. For example, some results in the inverse spectral problems and our recent works have revealed out some very strong continuous dependence of Sturm-Liouville operators on potentials and weights. More precisely, eigenvalues are continuously dependent on potentials and weights even when the weak topology is considered. With this, we have recently solved several basic extremal problems on eigenvalues. In this project, we will first study the optimal gaps of these eigenvalues of Sturm-Liouville operators when the physical measurement for potentials are given. This appeals for many techniques from variational method, topological and geometric structure of Banach spaces and measure differential equations. Then we will develop similar strong continuous dependence results for eigenvalues of beam equations on potentials or weights and study the corresponding extremal problems and optimal gaps of eigenvalues.

特征值（谱）在数学和应用科学中具有广泛的应用，其理论非常丰富，同时充满了很多挑战性的问题。如反谱理论和我们的一些近期工作揭示出Sturm-Liouville算子的特征值对于位势具有非常强的连续依赖关系。具体的说，特征值对于位势在弱拓扑下具有连续依赖性，并基于此关系解决了若干基本的特征值的极值问题。本项目将在以上结果的基础上应用变分法、Banach空间的拓扑几何结构、测度微分方程等方面的方法来研究Sturm-Liouville特征值在位势的物理度量确定时的最佳间隔估计；同时对于木梁振动的4阶方程的特征值建立相应的强连续性结论，并探讨其相应的极值问题和最佳间隔问题。

本项目旨在研究微分算子的谱理论及其应用，包括二阶方程特征值的极值问题、四阶方程谱的深入结构及定性研究和四阶方程特征值的最优估计。本项目已达到预期的目标，其具体的研究成果阐述如下：（1）二阶常微分方程特征值的最优估计。对势函数在$L^1$度量已知情形下的特征值极值问题，我们给出了比较完整的解答。（2）二阶测度微分方程特征值的强连续性和最优估计。我们建立了解和特征值关于测度在弱*拓扑下的连续性结论。这是已知文献中，最强的连续性结论。（3）四阶常微分方程特征值的强连续性和最优估计。我们建立了四阶方程特征值关于势函数在弱拓扑下的连续性结论。采用了新的逼近方式，结合特征值的强连续性质，得到了四阶方程特征值的最优估计。本项目共发表多篇SCI论文，其中一些研究成果改进了已有的结果，具有重要的理论价值和科学意义。此外，我们还研究了其他一些与本项目相关的极值问题，并将在后续的研究工作中继续关注这些问题和一些尚未解决的重要研究问题。