完备黎曼流形上Laplace算子的特征值估计及相关研究

The Laplace operator is an essential second order elliptic operator on a Riemannian maniold, and it is also one of the main research objects in geometric anyalsis on manifolds. Ever since the late 1950s, the research on eigenvalue problems of the Laplace operator has been one of the most important subjects in differential geometry. It has many applications in Mathematics, Physics and so on. This project is devoted to the Dirichlet eigenvalue problem of the Laplace operator，the Neumann eigenvalue problem and the buckling problem on complete Riemannian manifolds. We focus on the dependence of these eigenvalues on geometry and topology of manifolds. For these eigenvalue problems, we will undertake a thorough and systematic study on bounded domains in complete Riemannian manifolds. The goal of the project is to estimate upper bounds and lower bounds of eigenvalues in terms of some explicit geometrical quantities (e.g. the volume, the diameter and curvature) as accurate as possible. Especially, for the case of some special submanifolds in Euclidean spaces, more accurate estimates for upper bounds and lower bounds of eigenvalues will be obtained.

Laplace算子是黎曼流形上最重要的二阶椭圆型算子，也是流形上几何分析研究的主要对象之一。从上世纪50年代开始，Laplace算子的特征值问题的研究已经成为微分几何的重要内容，在数学、物理学与工程等方面有着广泛的应用。本项目主要研究完备黎曼流形上Laplace算子的Dirichlet特征值问题、Neumann特征值问题和Buckling问题，重点关注这些特征值问题的特征值对流形的几何和拓扑的依赖性。在现有基础上，项目组成员将对完备黎曼流形的有界区域上的这些特征值问题进行深入、系统的研究，目标是通过尽可能明确的几何量，例如区域的体积，直径，以及有关的曲率量来给出特征值尽可能精确的上界和下界估计。尤其是，当把这些特征值问题限制在欧氏空间中的一些特殊子流形上考虑时，必将能得到更为精确的上界和下界估计。

Laplace算子是黎曼流形上最重要的二阶椭圆算子，也是流形上几何分析研究的主要对象之一。从上世纪50年代开始，Laplace算子的特征值问题的研究已经成为微分几何的重要内容，在数学、物理学与工程等方面有着广泛的应用。本项目主要研究内容和取得的主要结果如下：. (1) 对于n维欧氏空间中的有界区域，本项目组研究了Laplace算子的Dirichlet特征值问题，得到了高阶特征值的下界估计和低阶特征值的上界估计，推广了Melas (Proc. Amer. Math. Soc. 2003) ，Kovarik-Vugalter-Weidl (Commun. Math. Phys. 2009) 和Chen-Zheng的结果(J. Diff. Eqns. 2011)。. (2) 对于空间形式中的n维闭子流形M，本项目组研究了更一般的二阶椭圆算子L_r的特征值，得到了低阶特征值的一个不等式。而且证明了，当空间形式为欧氏空间时，不等式取等号当且仅当M是(n+1)维欧氏空间中的球面；当空间形式为球面时，不等式取等号当且仅当M是球面中的极小子流形。这些结果推广了Alencar-Carmo-Rosenberg (Ann. Glob. Anal. Geom. 1993)和Grosjean (Differential Geom. Appl. 2000)的结果，他们的结果只给出了余维数为1时第一个正特征值的上界估计，本项目的结果是任意余维数，而且是前n个特征值的上界估计。 . (3) 对于欧氏空间中的紧致self-shrinker，本项目组得到了二阶椭圆算子L_r的低阶特征值的上界估计，这些结果推广了Cheng-Peng的结果（Commun. Contemp. Math. 2013）。