不可压缩Navier-Stokes方程解的性质研究

The basic law of the incompressible viscous flows is described by the Navier-Stokes equations. Many fluid models in nature, for examples, fluid dynamics model with thermal conduction effect, magneto-hydrodynamic model, ocean dynamics model, described as blood mathematical model of the flow pipe, their main parts are determined by the Navier-Stokes equations. Whence the Navier-Stokes system has a strong physical background and practical application value. The aim of this project focuses on regularity of weak solutions and decay properties of global weak and strong solutions in different domains (whole space, half space, exterior domain, bounded domain and so on). The methods employed are Moser iteration, spectral analysis, semigroup theory, modern harmonic analysis, and Galerkin approximation method and so on. These questions are fundamental issues of great concern.

Navier-Stokes方程描述了粘性不可压缩流体流动的基本力学规律，自然界中大量的流体模型,例如具有热传导效应的流体动力学模型,磁流体动力学模型,海洋动力学模型，以及描述象血液流动等管道流的数学模型，其主部均为Navier-Stokes方程。因此，该方程具有很强的物理背景和实际应用价值。 本项目主要研究不可压缩Navier-Stokes方程弱解的正则性和在不同的区域情形下（例如全空间，半空间，外区域，有界区域等）整体弱解和强解在各种不同范数意义下关于时间的衰减速度估计；以及定常Navier-Stokes方程解的结构和性质（存在性、唯一性和渐近性等）。所用方法主要是Moser迭代、谱分析方法、半群理论、现代调和分析理论和Galerkin逼近方法等。这些都是非常基本的、也是大家十分关注的问题。

在过去的四年中，项目组成员积极围绕项目研究计划要点展开了系统、深入地研究，研究工作基本上是按原计划完成，进展基本上是顺利的。到目前为止，共在国际知名学术刊物上发表SCI学术论文6篇，出版专著1部，基本实现了本项目的预期目标。.本项目研究不可压缩Navier-Stokes方程的解在几类典型的区域（例如半空间，外区域等）上的大时间渐近行为。在端点空间中建立了Navier-Stokes方程解的大时间衰减估计，这是一个长期的公开问题。当粘性流体施加在外区域边界上的净外力可以不为零的情况下,建立了Navier-Stokes方程解关于空间变量的任意高价导数的大时间渐近行为，这是一个长期的、极具挑战性的困难问题。