正线性系统的高精度计算和模型降阶

实际应用中产生的线性系统很大部分是正系统，正线性系统是控制论领域十分活跃的研究方向。正线性系统中的矩阵计算问题近年来受到了数值代数界的关注，因为已有的计算方法没有考虑系数矩阵元素的非负性，计算结果往往不够精确或不满足正线性系统的特性。本研究拟对正线性系统进行两方面的研究：（一）对正线性系统中的矩阵方程进行元素相对扰动分析，并利用非负矩阵的特性设计高精度算法，使矩阵方程解的每个元素都能计算到较高的相对精度，从而保证计算解元素的非负性；（二）通过Lyapunov不等式可行解的研究对模型降阶中的修正平衡截断法进行算法实现，使降阶后的系统仍为正系统，并保持一定的稀疏性。本项目为正线性系统有效、合理算法的设计提供研究思路，

本项目开展了以下几个方面的研究：1）本质非负矩阵指数的高精度计算方法；2）M-阵Sylvester方程的元素相对扰动分析和高精度计算；3）M-阵代数Riccati方程的相对扰动分析和高精度计算。这些都是实现正系统高精度计算的关键问题，也是保正性模型降阶的基础。这几类问题还与随机模型中的一些问题相关联，为此我们还对以下的问题进行了研究：1）随机流体模型中出现的一类复的代数Riccati方程；2）PH-型分布的Coxian表示。这几方面的研究取得了较好的进展， 所得结果整理成文后有五篇正式发表，一篇被正式接受，还有三篇准备投稿。论文都发表在相关领域国际重要的学术期刊上。 通过对这些问题的研究，我们较顺利地完成了项目的预订目标。同时，在原有的研究计划外，我们对随机模型计算中产生的一些问题利用数值代数的工具进行研究，也取得了较好的结果。