PH分布拟合中的矩阵计算问题

Phast-type (PH) distributions form a dense family of distributions on positive axis and have found many uses in applied probability. They play important roles in matrix-analytic method in computational probabilities, which employs well-develped matrix tools in computation of stochastic models. As PH-distributions are multi-parameter, it is challenging to fit PH-distributions to some specified distributions or sampled data. The EM (Expectation-Maximization) algorithm has been sucessfully used in fitting PH distributions, however, its speed is not satisfactory as a result of the computation of a large number of matrix expoenentials at each iterative step. This project studies the matrix exponentials arising in fitting PH distributions and develops efficient algorithms for these exponentials to improve efficiency of the EM algorithm.

PH分布是一类重要的分布函数，它不仅能很好地逼近许多分布，而且是计算概率中矩阵分析方法的重要工具。 通过PH分布拟合，我们能把许多随机模型计算问题转化为矩阵计算问题，从而应用矩阵计算工具进行快速有效求解。由于PH分布中需拟合的参量较多，再加上这些参量需满足一些限制条件，对给定的分布或对采样数据用PH分布拟合，是一个具有挑战性的问题。对一般PH分布的拟合，目前较为成功的方法是EM（Expectation-Maximization）算法，但由于其每一迭代步中需计算大量的矩阵指数，计算速度还不够理想。本项目拟对其中的矩阵指数计算问题进行系统研究，通过扰动分析和参量特殊的符号结构，设计矩阵指数快速精确的计算方法，提高EM算法在PH分布拟合中的计算效率。

本项目的主要成果包括：(1) 基于金融中常用的LIBOR市场利率模型，对一类路径依赖的LIBOR利率衍生产品，设计了定价的多层Monte Carlo方法，使工作量达到最优阶，并有望应用到实际交易中；(2) 从带布朗运动噪声Markov调制的 随机流体模型计算中，归纳出一类代数Riccati方程，研究了其性质，并设计了高精度的计算方法，这一算法有效地应用到求解此类模型的稳态分布上；(3) 对全负矩阵，利用适当的参数表示，设计了计算其奇异值的高精度算法，使每个奇异值都能计算到很高的相对精度。(4)对复对称线性方程组对已有的PMHSS算法做了改进，进一步提高了计算效率；(5)对刚性随机微分方程，设计了全隐式离散格式，使稳定性得以保证。