平面扭转映射理论及其应用

KAM theory has been extensively studied since 1960s. The project focuses on the theory on the twist mappings in the plane and its applications, including the research on the non-twist mappings, the existence of invariant curves on quasi-periodic/almost periodic twist mappings in the plane, Aubry-Mather sets for quasi-periodic/almost periodic twist mappings, and their applications to asymmetric oscillators, impact systems without the twist condition, the relativistic oscillators with singular potentials, and so on.

KAM理论自上世纪60年代提出以来，受到了广泛的研究. 本项目准备研究平面扭转映射理论以及它的应用，具体包括以下几方面：1、非单调扭转映射的相关研究；2、平面拟周期扭转映射的不变曲线的存在性研究；3、平面概周期扭转映射的不变曲线的存在性研究；4、平面拟/概周期扭转映射的Aubry-Mather集的相关研究；5、把这些理论结果应用到非对称振动、不满足扭转条件的碰撞系统以及具有奇异势能的相对振子等.

该项目属于基础研究，主要研究平面扭转映射理论及其应用。我们不仅建立了拟周期和概周期扭转映射的不变曲线定理，并且将这些抽象结果成功应用到非对称振动和超线性Duffing方程，得到了这些方程的Lagrange稳定性，解决了拟周期和概周期情形的Littlewood猜测。同时，我们还研究了可积Hamilton系统在概周期外力扰动下的最高维不变环面的存在性，并应用到概周期外力驱动的Duffing方程，得到了无穷多个概周期解的存在性和所有解的有界性。