非线性双曲型守恒律方程组的相关问题研究

本项目研究一维相对论Euler方程组的Riemann解及广义Riemann问题，二维等熵相对论流体力学方程组的Riemann问题和具有轴对称性质的解，以及二维Chaplygin气体的Riemann问题。对于一维问题，首先对基本情形进行分类，利用相平面分析的方法及精密的数学分析，得到不同情形下解的存在性。利用微分方程解的经典理论及特征分析方法，构造性地得到广义Riemann问题解的存在唯一性。对于二维Riemann问题，研究拟定常流（非定常流的自相似解）跨音流动，运用广义特征分析方法研究确定自相似解在超音区的适定性，研究斜导数自由边界椭圆问题，确定亚音区解的存在唯一性及光滑性，从而得到整体解。.对于轴对称性质的解，利用轴对称和自相似假设，可以把偏微分方程组的初值问题转化为非自治常微分方程组的无穷远边值问题进行研究。

非线性双曲型守恒律方程组有大量问题来自于空气动力学、燃烧、气象学、量子力学等学科的自然现象，是偏微分方程领域的核心问题之一。其中对于Riemann问题、波的相互作用问题及解的适定性研究等对于我们研究其它定解问题起着重要作用。我们针对此类问题进行了相关的研究。我们研究了广义Riemann问题，Riemann解及其压力消失极限，根据Riemann解的不同结构，利用特征分析和相平面分析的方法，得到了不同情形下解的极限。尤其是对Chaplygin气体情形，Riemann解中delta波的出现使得我们对于极限过程的处理有明显的不同。对于波的相互作用问题，我们研究了包含delta波的情形。首先对基本情形进行了分类，针对不同的类型分别进行了细致的分析。通过让扰动参数趋于零，说明了Riemann解关于特殊初值小扰动的稳定性。