几类非局部偏微分方程（组）解的高阶格式及收敛速度研究

Nonlocal effects of biological evolution models process important and extensive biological meanings. The following investigations on the numerical solutions of several nonlocal partial differential equation(s) will be implemented. .It will construct entropy (or energy) satisfying high-order schemes and prove that numerical solutions preserve positivity and entropy (or energy) dissipation for semi-discrete and fully discrete schemes. It also analyzes time-asymptotic convergence rates and the stability of schemes by using auxiliary functional and detailed norm estimation. Specially, when the timescale tends to zero, high-order schemes for resource-competition model will be proven to converge to the corresponding schemes for a direct competition model. A series of numerical tests for several models is performed to demonstrate the accuracy and the entropy (or energy) decreasing property of numerical schemes, and the long time behavior of numerical solutions is also shown. .The accomplishment of this project is of great theoretical and practical significance to capture the long time behavior of solutions and to predict the evolution of population traits accurately.

生物演化模型的非局部效应具有重要和广泛的生物学含义。本项目拟针对几类非局部偏微分方程（组）的数值解问题开展以下研究：.构造几类模型高阶精度的熵（或能量）耗散可靠数值格式，证明半离散和全离散格式保持数值解正性和熵（或能量）耗散性质，并利用辅助泛函和细致的范数估计分析数值格式的时间渐近收敛速度和稳定性。特别地，当时间尺度参数趋于 0 时，尝试证明资源竞争模型的高阶精度数值格式收敛到直接竞争模型的相应离散格式。最后，利用数值实验展示几类模型数值格式的准确性、能量（或熵）递减性以及解的大时间渐近性。.该工作的顺利完成将对准确把握偏微分方程（组）解的大时间行为和预测种群特征的演化具有重要的理论和现实意义。

生物演化模型的非局部效应具有重要和广泛的生物学含义。本项目针对几类非局部偏微分方程（组）的数值解问题开展以下研究：. ① 针对一类具有梯度流结构的非局部偏微分方程，利用有限体积法构造模型具有二阶精度的数值格式，在一维和二维空间的情形下，证明半离散格式和全离散格式产生的数值解保持正性和熵耗散性。. ② 针对具有梯度流结构的竞争突变模型，深入研究了模型非负离散平衡态的存在性、平衡态大于0和等于0 的条件。对模型能量耗散的半离散格式，在模型系数的合适条件和某种范数意义下，通过引入辅助泛函和细致的范数估计，分析了离散稳态的时间渐近收敛速度。在DG（不连续的伽辽金）离散化的背景下，设计和分析模型空间高阶精度的能量耗散格式。针对提出的高精度半离散和全离散格式，证明格式满足两个重要性质：数值解的正性和能量耗散性。. ③ 针对两类恒化型资源竞争模型，当尺度参数趋于0 时，通过渐近分析证明资源竞争模型与直接竞争模型的逼近关系。对给定的尺度参数，证明了系统能够保持正性且资源总是有限的。研究了离散演化稳态分布的存在唯一性以及动力系统的解到有界演化稳态分布的渐近稳定性。构造了全离散模型并证明模型产生的数值解保持正性和熵的递减性。. 通过一系列的数值实验展示几类模型数值格式的准确性、熵（或能量）递减性以及在各种条件下大时间渐近行为的有效性，并通过算例捕捉分叉和灭绝等有趣的生物学现象。该工作的顺利完成对准确把握偏微分方程（组）解的大时间行为和预测种群特征的演化具有重要的理论和现实意义。