高维非线性动力系统同宿、异宿轨道及相关问题的研究

The existence and bifurcation problems of homoclinic and heteroclinic orbit are an important problem in the research of dynamical system. Our application project considers the existence and the bifurcation problems of homoclinic and heteroclinic orbit connecting saddle-focus in high-dimensional nonlinear systems and the application in practical problems such as neural networks etc. These kinds of bifurcation phenomena always have complicated patterns. This project will improve the known theories and methods to establish a new effective and universal method, such that it can better be applied to the corresponding bifurcation problems of the system connecting saddle focus equilibria, and can be successfully used to solve the system with special structure such as singular perturbation systems，piecewise smooth system etc. We will reveal new bifurcation phenomena, including new bifurcation orbit types and chaos etc, solve some difficult problems that can not be solved completely by the known methods, which lays a foundation for further study of other higher codimension bifurcation problems of singular cycles. on the other hand, we use the methods and technique developed by us to study several practical problems such as traveling wave propagation in coupled Chua’s circuits and so on，and explore the effectiveness of using such theory and method to solve practical problems.

同宿、异宿轨道的存在性及分支问题是动力系统研究的一个重要问题。本申请项目重点对高维非线性系统中连接鞍焦点的同宿、异宿轨道分支问题以及在神经网络等实际问题中的应用开展深入的研究工作。由于鞍焦点邻域轨线的特殊结构，使得这类分支现象往往具有极其复杂的动力学行为。本项目将改进已有的理论和方法建立一种有效的且具有一定普适性的新方法，使其能更好地适用于具有鞍焦点的相应系统的分支问题的研究，并且经过适当改进能更好地适用于奇摄动系统以及分段光滑系统等各种特殊结构的高维系统的相应分支问题研究，揭示新的分支现象，包括新的分支轨道类型及混沌等复杂动力学行为，解决几个目前方法无法完全解决的困难的问题，为进一步研究其它形式的高维奇异环分支问题奠定基础。另一方面，我们利用我们发展的方法和技巧研究耦合Chua’s电路中行波解的传播等几类实际问题，探讨将发展的理论和方法用于解决实际问题的有效性。

同宿、异宿轨道的存在性及分支问题是动力系统研究的一个重要问题，在物理、化学、生物数学等学科的许多研究领域都占有重要地位。本申请项目重点对高维非线性系统中的同宿、异宿轨道存在性、分支问题以及在生物数学、电路等实际问题中的应用开展深入的研究工作。 我们一方面对已有的活动坐标架法作进一步的推广和精细化改造， 对具有轨道翻转、倾斜翻转同宿环、异宿环的几类高维光滑系统，特别是具有镜面反射对称和时间反转对称系统，开展深入的研究工作，较详尽完整地揭示其丰富的分支样式及相应系统的复杂动力学性态。另一方面，将我们发展的方法与所论问题的特殊性相结合，探索更具有实际背景和应用背景的理论和方法，对实际问题模型对应的分段光滑系统、奇摄动系统的相关问题开展深入的研究，给出详尽的动力学分析，包括新的分支轨道类型以及混沌等复杂动力学行为。对于数值模拟观察到的混沌现象，我们利用计算机辅助证明的方法，研究了几类生物模型中混沌现象产生的机制，并进一步讨论了如何调整参数值进行混沌控制，为研究其它比较复杂的实际模型动力学给出了新的思路和方法。