退化的同宿与异宿轨道的分支问题

Since the time of Poincare and Birkhoff, it has been known that the dynamical behavior near a homoclinic orbit is extremely complicated. The reason is due to people can catch sight of chaos near homoclinic orbit. This project will use exponential dichotomy, exponential trichotomy, Lyapunov-Schmidt reduction method to study the bifurcation of the degenerate homoclinic and heteroclinic orbits. We mainly consider the following questions: Based on the known results, we first consider the bifurcation of a degenerate heteroclinic orbit; The second one is the homoclinic bifurcation with nonhyperbolic equilibria; The third one is the homoclinic bifurcation problems for an ordinary differential equations with singular perturbation.

自Poincare和Birkhoff时代开始，人们就意识到了在同宿轨道附近的动力学行为会非常复杂。究其原因，是由于在同宿轨附近人们可以瞥见混沌。本项目主要利用指数二分性、指数三分性、Lyapunov-Schmidt约化方法来研究几类退化的同宿和异宿轨道的分支问题。主要考虑以下问题：一是在已有的工作基础上进一步考虑退化的异宿轨道分支；二是考虑同宿于非双曲平衡点的同宿轨道分支；三是考虑奇异扰动系统中的同宿、异宿轨道分支。

同宿与异宿轨道是微分方程中一类特殊的不变集。对同宿与异宿轨道分支问题的研究，使得我们可以将映射的混沌理论应用到由微分方程所导出的系统中。本项目主要应用指数二分性理论与Lyapunov-Schmidt约化方法研究了退化的同宿与异宿轨道的分支问题。主要做了如下工作: （1）研究了一类具有特殊退化性的同宿轨道的分支问题。我们考虑了n维自治微分方程，假设其具有d维的同宿流形(d<n)。我们应用泛函分析的方法推导出了同宿流形在周期扰动下的同宿轨的持久性问题及横截同宿点的存在性问题的条件。不同于以往的退化同宿轨道，我们推导出的分支函数关于参数Taylor展开部分二阶项全为零。我们定义出了由高阶Melnikov型积分所构成的分支函数的低阶项。在一定的条件下，我们推导出了分支函数零点的存在性。同时也证明了扰动系统的周期映射会出现横截同宿点，系统会发生混沌运动。（2）考虑了一类退化异宿轨道在具有m维参数的周期小扰动下的分支问题。在有限维空间中，我们考虑了一个自治常微分方程，假设其具有一个异宿轨道，其异宿于两个双曲鞍点。假设这两个双曲鞍点的稳定流形的维数可以是任意的。定义出了未扰动异宿轨道的分离指标s。假设未扰动异宿轨道的变分方程具有d个线性无关的有界解。我们应用泛函分析的方法推导出了分支函数。分支函数是从d+m维的空间到d-s维空间的映射。分支函数依赖于分离指标。当分离指标大于零时，扰动之后的异宿轨不可能横截相交，也就意味着扰动系统所对应的周期映射不会出现横截异宿点，系统不会发生混沌运动。当分离指标小于等于零时，此扰动之后的异宿轨才可能横截相交，在异宿轨附近可能存在着混沌运动。（3）作为微分方程稳定性理论的应用，我们研究了一类电力网路模型。考虑了多层耦合振子电力网络数学模型中频率同步解的稳定性。