Riemann面上奇异与非奇异共形度量

Conformal metrics on Riemann surfaces are important objects in the differential geometry.This project focuses on some problems about singular and nonsingular conformal metrics on Riemann surfaces. These problems consist of singular extremal Kaehler metrics, constant Gauss curvature metrics with singularities and some related problems about conformal minimal surfaces.For singular extremal Kaehler metrics, we will study the existence of HCMU metrics whose Gauss curvatures are not constant by the methods of geometry and complex analysis and we will study the properties of extremal Hermitian metrics by the PDE method. For constant Gauss curvature metrics with singularities, we will study the properties and the existences of constant Gauss curvature metrics on 2-spheres with conical singularities and we will study the properties of constant Gauss curvature metrics with conical singularities and cusp singularities. For conformal minimal surfaces, we will study the geometries of minimal surfaces in complex Grassmann manifolds and HP^n.

Riemann面上的共形度量是微分几何中的重要研究对象。该项目主要研究和Riemann面上奇异与非奇异共形度量相关的一些问题。这些问题包括：奇异extremal Kaehler度量，带奇点的常Gauss曲率度量和共形极小曲面问题。对于奇异extremal Kaehler度量，我们将用几何与复分析相结合的办法研究非常Gauss曲率的HCMU度量的存在性，用PDE的办法研究extremal Hermitian度量的性质。对于带奇点的常Gauss曲率度量，我们将研究球面上带锥奇点的常Gauss曲率度量的性质和存在性，还将研究既带锥奇点又带cusp奇点的常Gauss曲率度量的性质。对于共形极小曲面，我们将研究复Grassmann流形以及HP^n中极小曲面的几何。

我们的主要研究对象是紧Riemann面上带奇点的极值Kaehler度量和极小曲面。. 极值Kaehler度量是由著名几何学家Calabi定义的，目的是找到“好”的度量。极值Kaehler度量是近二三十年复几何重要的研究对象。紧Riemann面上光滑的极值Kaehler度量就是常曲率度量。我们研究的是紧Riemann面上带奇点的极值Kaehler度量，这种度量又分为非常曲率和常曲率两种。其中非常曲率度量我们通常简称为HCMU度量，它是近年来人们发现的一种很有趣的度量，常曲率度量则一直是人们关注的对象，其中球面上带锥奇点常曲率为1的度量的存在性是一个公开的问题。我们研究了HCMU度量的存在性和性质，得到如下两方面结果：第一，球面上HCMU度量的一个存在性定理，一般来说，这类度量的存在性很难得到，它与奇点的位置和角度都有关，在球面上，我们把度量的存在性问题转化为一个代数方程的求解问题，并得到了这个代数方程在何时一定有解；第二，证明任何一个HCMU度量都是一个球面上最简单的HCMU度量通过Riemann面上一个多值全纯函数的拉回，这说明任何HCMU度量实际上都是由最简单的HCMU度量拼成的。此外，我们还得到了球面上只有3个锥奇点且奇点角度都是4\pi的HCMU度量的完全分类。. 极小曲面一直都是几何学的重要研究对象。我们在以往工作基础上开展复Grassmann流形G(k,n)中的极小2维球面的几何性质及分类的系列研究。主要结果有：给出了G(2,5)中的常曲率全纯2维球面和非正负全纯常曲率极小2维球面以及Q_3、HP^2中的常曲率极小2维球面的完全分类；给出了HP^n中满足一些条件下的常曲率极小2维球面的分类；完全确定了Q_n和HP^n中的所有平行极小2维球面。我们还研究了对称空间中的平行极小2维球面的一些性质。