Toric流形上的几何

One of the central problem in complex geometry is to find certain canonical metrics within a given Kahler class. As examples, the extremal metrics. Not only its own is a basic problem, it also involve many of the higher order Monge-Ampère type equations.Since such equations is very difficult and the theory is still immature, we need develop new means and methods. On the basis of previous works, the project focus on the following aspects: (1) Since the uniform stability is a necessary condition for the existence of extremal Kahler on toric manifolds, we hope to get the regularity of the neighborhood near the boundaries of high dimension toric manifold under the conditions of uniform stability. This is a key step to prove that the existence of the smooth extremal Kahler metric. (2) First we use Calabi flow to study the extreme Kahler metric on toric surface. And we want to obtain the regularity of Calabi flow near the boundary in finite time. Next we hope to characterize with positive(or negative) constant scalar curvature of affine Kahler surface which nature appeares in the blow-up analysis of the Calabi flow.

极值Kahler度量的研究是复几何中十分重要的研究分支之一，不仅其本身是很基本的问题，重要的是对它的研究会涉及到许多高阶Monge-Ampère 型方程,此类方程的研究难度大，理论还很不成熟，需要发展新的手段和方法。本项目拟在前期工作的基础上开展以下方面的研究： (1)由于一致稳定性是Toric流形上的极值Kahler度量存在的必要条件,我们希望得到在一致稳定性的条件下高维Toric流形的各个余维数的边界附近邻域的正则性。这是证明光滑的极值Kahler度量存在性的关键一步。 (2)首先利用Calabi流来研究Toric曲面上的极值度量，考虑Calabi流在边界附近的有限时间内的正则性。然后希望能对具有常数量曲率仿射Kahler曲面的刻画，这一类曲面自然的出现在Toric曲面上的Calabi流的blow-up分析中。

项目的研究从以下四个方面：.（A）极值Kahler 度量的研究是复几何中重要的研究问题之一，不仅其本身是很基本的问题，而且其会涉及到许多高阶Monge-Ampère型方程。我们将李安民和他的合作者在仿射几何研究中发展的技巧和方法成功地应用到Toric流形，证明了二维情形的关于极值Kahler度量的Donaldson猜想。证明了一致稳定性是广义Abreu方程可解的必要性条件，并在一致稳定性的条件下证明了广义Abreu方程的内部正则性，导出了广义Abreu方程一些估计；推导出了齐次Toric丛上的微分不等式；对纤维为二维Toric曲面的齐次Toric丛证明了Yau-Tian-Donaldson猜想。.（B）Calabi 流也是比较有效的寻找常数量曲率或者极值度量的工具。与人合作证明了证明了二维Toric曲面上的Calabi流的有限时间的内部正则性。.（C）一类四阶完全非线性方程也自然的出现在几何中，如仿射极大曲面方程和Abreu方程等。证明了Abreu方程在Ricci曲率有界的条件下的正则性定理。证明了一类四阶非线性方程具有Bernstein性质。在适当的全局条件下具有负常仿射平均曲率的仿射完备局部强凸超曲面是一个双曲仿射超球面。.项目组成员许瑞伟与人合作证明了相对法化下的抛物型仿射球的刚性问题。给出了推广的Jorgens-Calabi-Pogorelov定理的相对简单的证明；将n=1时对上述偏微分方程的整解进行分类。并对每个n≥2整个古典严格凸解，在f的Hessian满足一定的衰减条件下，证明其是一个二次多项式。设u是定义在欧式空间中的凸函数，∇u的图是类似与伪欧氏空间中给出的平均曲率流的孤立子具有未定的度量，许瑞伟与合作者得到Bernstein定理。.（D）量子上同调与Gromov-Witten不变量是当今国际上一个非常热门的重要的研究方向。传统的Gromov-Witten不变量的定义方式是利用紧化的J全纯曲线模空间的拓扑相交理论来定义。基于李安民-阮勇斌的相对Gromov-Witten不变量的工作，与人合作对粘合参数的导数作出一个指数衰减的估计，将不变量定义为虚拟邻域的top stratum上的瑕积分，证明了Gromov-Witten不变量瑕积分的收敛性。此方法避免了对lower strata邻域的复杂描述，回避了模空间在lower strata的光滑性的讨论。