基于有限几何的非线性密码函数的构造研究

Constructing nonlinear Boolean functions and vectorial Boolean functions with special cryptographic properties is an important research topic of modern cryptography, which is meaningful for the design of secure block and stream ciphers. In this project, we study constructing such significant nonlinear cryptographic functions as (generalized) bent functions, almost perfect nonlinear (APN) functions and almost bent (AB) functions based on an algebraic structure known as finite pre-quasifield from finite geometry. On the one hand, we study explicitly constructing bent functions through finite pre-quasifield spreads, generalizing the PSap and H classes of bent functions derived from finite field spread. We also study constructions of p-ary generalized bent functions, Z4-valued bent functions and vectorial bent functions adopting similar ideas. On the other hand, by defining inverse operations and mixed multiplication operations in finite pre-quasifields, we try to construct vectorial Boolean functions with low differential uniformity and high nonlinearity, especially such interesting ones as APN and AB functions. Through the research of this project, we aim to obtain new classes of cryptographic significant nonlinear functions which are inequivalent to known ones.

具有特殊密码学性质的非线性布尔函数和向量值布尔函数的构造是现代密码学的重要研究课题，对安全分组密码和流密码算法的设计具有重要指导意义。本项目通过利用有限几何学中的有限预拟域这类代数结构，研究密码学中bent函数和广义bent函数、几乎完全非线性函数（APN函数）、几乎bent函数（AB函数）等重要非线性密码函数的构造。一方面，研究利用有限预拟域扩散显式构造bent函数的方法，推广基于有限域扩散构造的PSap类、H类bent函数，并将相关构造思想推广用于p-元广义bent函数、Z4-值广义bent函数和向量值bent函数的构造；另一方面，研究利用有限预拟域逆运算、不同有限预拟域乘法混合运算构造具有低差分均匀度、高非线性度的向量值布尔函数的方法，特别是研究APN函数、AB函数等非线性向量值函数的构造。通过该项目研究，旨在获得新的、与已知构造不等价的重要非线性密码函数类。

本项目主要利用有限域、有限几何领域的相关数学工具，深入研究非线性密码函数的构造方法，以期为对称密码算法的设计提供更丰富的候选组件。项目执行过程中，课题成员分工协作、循序渐进地开展研究，完成了项目制定的研究计划，达到了项目提出的预期目标。项目所取得的主要成果包括：（1）建立了利用有限预拟域扩散构造PS类bent函数的理论框架，给出了三类新的多项式形式bent函数的构造；（2）给出了多类有限域上具有特殊形式的置换函数的构造，发现了两类特殊形式多项式函数置换性质间的联系；（3）基于蝶形结构和Gold函数构造了新的差分-4置换函数，并解决了关于其非线性度的公开问题。项目执行期间在国内外权威学术期刊、会议累计发表学术论文5篇，培养了博士、硕士研究生各一名，同时开展了多种形式的国内外学术合作与交流活动。