非局域对称的局域化及其相关研究

Symmetry analysis plays an important role in nonlinear science. If the symmetry of equation is lie point symmetry, then one can reduce the equation by symmetry reduction method. As for integrable system, the symmetry belonging to the Painleve truncated expansion is non-local, it is called residue symmetry. In fact, the Painleve truncated expansion is a particular form of Backlund transformation. From the view of symmetry to analyze the finite transformation of equation including backlund transformation one can get more information than expected. To this end, we introduce new variables to enlarge the original system so that the non-local symmetry can be localized in the new system. As for the localized symmetry, we can both reduce the new system by regular symmetry reduction method studying the interaction between different solution wave and get the finite transformation group by using Lie’s first principle. There exist different residue symmetries with respect to different integration constants in the Schwarz form of original equation and each residue symmetry belongs to different backlund transformation. Because the linear superposition of symmetries is also a symmetry of the original equation, we can enlarge the nonlinear system further to localize the symmetry and then get the corresponding backlund transformation by using Lie’s first principle.

对称性研究在非线性领域起着至关重要的作用。如果方程的对称群是点李对称，我们可以利用对称约化方法将原方程从高维向低维约化。对于可积系统，Painleve 截断展开是贝克隆变换的一种特殊形式，相应于该变换的对称，即留数对称，是非局域的。从对称角度研究包含贝克隆变换在内的有限变换可以收到意想不到的效果。为了这一目的，我们通过引入新变量以扩大原来的非线性系统，将非局域对称在新系统中局域化为点李对称。对于局域化后的对称，我们既可以通过常规对称约化理论将新系统进行约化，研究原方程不同类型波的相互作用，也可以通过李群第一定理得到原方程的有限变换群。对应于原方程施瓦兹形式的不同积分常数，我们可以得到不同的留数对称，每一个留数对称对应一个贝克隆变换。由于对称的线性叠加还是原方程的对称，我们可以通过进一步扩大系统，将任意个非局域对称的和局域化，从而利用李群第一定理，得到相应于该对称的任意次贝克隆变换。

在历史上，非局域对称由于其无法被直接用于非线性系统的求解而较少涉及，探讨如何克服这一困难从而发掘非局域对称在研究非线性问题中的作用是一个有意义的课题。本项目在非线性系统的非局域对称的局域化及相关领域开展了相关工作并得到了有意义的结果。我们利用对称与守恒律之间的密切联系，通过将点李对称向高阶延拓从而得到了Lin-Tsien方程的无穷多守恒律，并且证明了该守恒律只与系统的对称代数有关；我们利用留数对称研究了KP方程、Boussinesq方程、2+1维Burgers方程，将留数对称在新系统下局域化为点李对称进而利用经典对称理论得到了孤立子与其他非线性波的相互作用解，该类型的解很难利用其它方法来得到；我们还将留数对称应用于非线性系统任意次贝克隆变换的研究中，得到了1+1维Burgers方程的用行列式表示的N次贝克隆变换。总之，研究中的一些成果为利用对称研究非线性系统这一传统理论注入了新的生机。