广义低秩矩阵重构若干问题研究

Low rank models exist in a wide range of applications, such as principle component analysis, phase retrieval and dictionary learning. Low rank matrix reconstruction is an extension of compressed sensing from vectors to matrices, and they suggest a new paradigm for efficient processing of high dimensional data. Based on existing research on low rank matrix reconstruction, we will investigate more generalized low rank reconstruction problems, including multiple low rank matrices demixing, implicit low rank matrix reconstruction and the analysis and computation related to the nonconvex objective functions. Algorithmically, we will focus on the development of fast nonconvex algorithms for generalized low rank reconstruction problems, for example nonconvex gradient descent based algorithms or manifold algorithms. In theory, we will study the convergence of proposed algorithms to underlying ground truth and the geometric landscape of related nonconvex objective functions. This project has important theoretical and practical values and can potentially promote the integration of multiple disciplines.

低秩模型广泛存在于信号和数据处理问题中，如主成分分析、相位恢复和字典学习等；低秩矩阵重构是压缩感知由向量到矩阵的延伸，它们为高效处理高维问题提供了范式。本项目将在已有低秩矩阵重构研究工作的基础上从算法设计和理论分析两个方面对低秩矩阵重构进行更加广泛、深入的研究，对广义低秩矩阵重构问题进行研究，包括多低秩矩阵分解、隐式低秩矩阵重构以及相关非凸目标函数的理论分析和计算。在算法设计方面，本项目主要研究快速非凸优化算法的设计和应用，如以非凸梯度下降法为基础的快速算法和流行上的算法等；在理论分析方面，本项目主要关注非凸优化算法的全局性收敛问题以及非凸优化目标函数的几何刻画分析。本研究具有比较重要的理论意义和应用价值，并期望能在促进多个学科方向间的交叉融合中发挥一定的推动作用。

低秩矩阵重构是指从少数的线性测量数据出发去重建一个低秩矩阵。该问题在信号和数据处理中有着重要的应用。一方面，矩阵是最常见的数据表达方式，并且低秩模型在各种实际应用中广泛存在。另一方面，在当前各种科学与工程问题中，高维数据普遍存在，因此需要充分挖掘数据中存在的低维结构，而低秩矩阵重构为高维数据处理提供了新的范式。此外，低秩矩阵重构通常能够被描述为连续的非凸优化问题，因此对它的研究能够扩展连续优化的方法和理论。..基于任务计划书，本项目主要研究了以下三个方面的内容并取得了丰硕的成果：1)流形优化算法在低秩矩阵补全中的理论及应用；2)与一类低秩矩阵重构问题(即相位恢复)相关的目标函数的几何景观研究；3)基于频域Hankel低秩结构的矩阵补全方法和理论。相应的主要研究成果有；1)证明了流行优化算法在低秩矩阵补全中的收敛性，并将算法的观点进行了扩展用以求解鲁棒主成分分析问题；2)在最优采样复杂度下为相位恢复构造了具有良好几何景观的目标函数；3)为地震波数据补全问题提供了基于频域Hankel低秩结构的凸方法并且证明该方法在近似最优采样复杂度下的重构性保证。..本项目的研究成果丰富和完善了低秩矩阵重构问题的方法和理论，对某些应用问题提供了理论上的指导。对相关学科间的交叉与融合有积极的促进作用。