自相似序列的无理指数、分形及相关问题

Combined with Fractal Geometry, Dynamic System and Combination on Words, we will research the self-similar sequences and their characterization information from three aspects:(1)The study of the structures、complexities and Hankel determinants of the self-similar sequences;(2)The study of the irrationality exponents of the real numbers corresponding the self-similar sequences;(3)The study of fractal sets associated with self-similar sequences.Those problems are at the intersection of fractal theory, combination on words, formal language theory and number theory. Our research will base on the previous results, study self-similar sequences，the related fractal sets and Diophantine properties. And try to find new methods to solve such problems.

结合分形几何、动力系统与词上组合等方法技巧，我们拟从三个方面去研究自相似序列内在性质及表征的信息:(1)研究自相似序列的因子结构、因子复杂度和Hankel行列式性质等;(2)研究以自相似序列为b-进展式的实数(特别的，以代换序列和自动机序列为b-进展式的实数分别称为代换实数和自动机实数)的丢番图性质;(3)探讨自相似序列与分形之间的联系，以及自相似序列的复杂度熵与分形集维数之间的关系。因此本项目将涉分形几何、词上组合、理论计算机与数论的交叉，同时也是这些研究方向的热点问题。我们将在已有工作的基础上，继续深入研究自相似序列与对应的实数和分形集三者之间的关系，并找出解决问题的新方法。

有理数具有很好的性质，而无理数的性质则扑朔迷离。如果一个无理数能被有理数很好逼近，则说明他们性质也很相似。正好，无理指数就是用来刻画有理数逼近无理数的。然而，如何精确给出无理指数，是非常困难的。.无理指数与实数b-进展式的性质有着密切的联系。一个是，展式序列的Hankel行列式的非零指标。另一个是，展式序列的因子结构以及序列的组合性质。因此，最近我们主要研究自动机序列的因子复杂度和Hankel行列式，以及正则序列的生成方式以及组合性质等。.具体的，1、我们给出了一类非常返序列的排列复杂度的表达式，并证明其仍然具有正则性。主要意义在于给出排列复杂度的具体值，以及进一步肯定正则性的论断。2、改进Bell,Moshe和Rowland的方法，我们得到一个判断序列正则性的方法。基于此方法，我们回答了Allouche,Shallit的一个开问题。我们的方法也为证明序列正则提供新的思路。3、我们首次研究了正则序列的机器生成方式，并证明了一类正则序列可以由无穷状态自动机生成。从而从基础上，进一步拓展正则序列的基础内容。4、我们计算了2的幂的特征序列的Hankel行列式，回答了Cigler的一个猜想，并且证明了该行列式序列也是正则的。该结论，为Hankel行列式序列的研究提供了新的理论依据和方法。