与无理旋转收缩靶问题相关的极限定理及分形性质

Irrational rotations on the unit circle is a class of ergodic but not mixing dynamical systems, which is closely related to Diophantine approximation and uniform distribution mod 1 of sequences. Fayad and other authors have proved that the shrinking target properties of an irrational rotation depend on the Diophantine property of the angle of rotation. This research aims to investigate limit theorems and fractal properties related the shrinking target problem of irrational rotations, which is helpful to understand the local behavior of the distribution of orbits. ..Given a sequence of nested intervals on the unit circle, we will investigate and hope to solve the following problems: 1) the asymptotic behaviors of the number of target hits, when the lengths of the nested intervals satisfy certain divergent conditions, whether or not the hitting time of the orbits of the irrational rotation satisfies the central limit theorem? 2) Given a measure on the unit circle with certain Fourier decay rate, what is the measure of the points whose orbits hit the targets infinitely often? Does it satisfy a 0-1 law? 3) To estimate the Fourier dimension of the set in Problem 2), that is, to determine whether or not this set can support a measure with power Fourier decay.

单位圆环上的无理旋转是一类遍历但非混合的动力系统，它与丢番图逼近和序列的模一分布有紧密联系。Fayad等人证明了无理旋转的收缩靶性质与旋转角度的丢番图性质有关。本项目拟讨论与无理旋转的收缩靶问题有关的极限定理和分形性质, 这有助于我们理解无理旋转轨道分布的局部性态。..给定单位圆环上一列单调递减的区间，我们将研究和拟解决：1)中靶时间的渐近行为，当区间的长度满足一定的发散条件时，无理旋转的轨道击中靶区间的次数是否满足中心极限定理；2)给定单位圆环上一个具有特定Fourier衰减速度的测度，轨道无穷多次击中靶区间的点所组成的集合的测度有多大？是否满足0-1律？3）估计问题2)中集合的Fourier维数，即考察这个集合上能否支撑具有多项式Fourier衰减的测度。

单位圆环上的无理旋转是一类遍历但非混合的动力系统，它与丢番图逼近和序列的模一分布有紧密联系。本项目中我们对一系列相关问题进行了研究。..给定单位区间上一个具有多项式Fourier衰减的分形测度，我们证明了轨道无穷多次击中靶区间的点所组成的集合的测度满足0-1律。当区间的长度满足一定的发散条件时，我们研究了无理旋转的轨道击中靶区间的次数的渐近行为。此外，我们还研究了无理旋转首次回复时间的极值分布，取得了一些初步进展。..我们还研究了其他一些相关问题，证明了当参数乘法独立时相应的Riesz乘积测度的卷积的Fourier系数具有对数衰减；研究了加倍度量空间中一致完全集的下Assouad型维数之间的关系；刻画了满足弱Specification性质的一类动力系统中回复集的Hausdorff测度；得到了一类满足弱Specification性质且非极小非唯一遍历的动力系统轨道复杂度水平集的Hausdorff维数。这些研究是在项目执行过程中与同行交流后受启发开展的，它们为本项目提供了重要补充。