k-正则序列及其相关分形问题

The k-regular sequence is a generalization of the concept of automatic sequence. It has a simple generating method, takes its values over an infinite set and is of self-similarity. The k-regular sequence is the central concept at the intersection of fractal geometry, number theory and formal language theory. This research covers the following two subjects: (1) the study of the irrationality measure of k-regular numbers； (2) The study of fractal sets associated with k-regular sequences. We will study the following problems: the rational approximation of real numbers; the computation of Hankel determinates of k-regular sequences; the properties of fractal sets related to two-dimensional automatic sequences and the dimension of the intersection of Sierpinski carpet with lines of irrational slope. All those problems are at the intersection of fractal geometry, number theory and formal language theory. We will use the theory and techniques in fractal geometry, combinations on words and number theory in the research. Our research will base on the previous results, study the property of fractal sets associated with k-regular sequences and the Diophantine properties of k-regular numbers. We will investigate the relation between them and try to find new methods to solve such problems.

k-正则序列是自动机序列的推广，具有生成方式简单，取值于无限集，有一定的自相似性等特点，是分形、数论和形式语言理论交叉领域的关键概念。本项目研究与之相关的两方面问题：(1) k-正则实数的无理测度的研究； (2) k-正则序列相关分形的研究。我们将涉及实数的有理逼近问题、k-正则序列的Hankel行列式的计算、二维自动机序列对应分形集的性质和Sierpinski地毯无理斜率截集的维数等问题。这些问题均为分形、数论和形式语言理论的交叉问题。我们将结合分形、词上组合、数论的理论与技巧，在已有结果的基础上，探索k-正则序列相关分形集的性质，以及k-正则实数的丢番图性质，寻找它们之间的关联，并探索解决相关问题的新方法。

k-正则序列是自动机序列的推广，具有生成方式简单，取值于无限集，有一定的自相似性等特点，是分形、数论和形式语言理论交叉领域的关键概念。本项目中的研究内容为与k-正则序列有关的两部分内容。.在分形几何方面：1）研究随机编码树给出的分形集的Hausdorff维数。建立维数与压力函数零点之间的联系。2） 研究了一类分形集的截集的Hausdorff维数问题。给出该集合的截集的Hausdorff维数等于Mastrand定理典型值的充分条件。3) 自动机序列的复杂度问题。我们研究Rudin-Shapiro序列的阿贝尔复杂度及其复杂度函数的渐进性质，并计算其渐进函数图像的盒维数。.在数论方面: 1) 我们应用Allouche, Peyriere, Wen & Wen的方法研究Cantor序列和一个类Thue－Morse序列的Hankel行列式；并应用Bugeaud的方法，研究Cantor数的无理指数。另外，我们还研究了Cantor序列的k-阿贝尔复杂度，证明其复杂度函数是3-正则的。这是Parreau, Rigo, Rowland, Vandomme于2015年提出的一个猜想的特殊情形。 2) 研究一类Mahler函数在有理点处的函数值的齐次逼近问题。主要研究齐次逼近测度和线性独立测度，给出一般的结果，并对经典的例子做详细计算。这类Mahler函数包含一些k-正则序列和自动机序列的生成函数。3） 我们研究了由一类特殊的自动机序列生成的sum－free集的自动机性质。4）研究无穷字符集上Fibonacci序列的词频，奇异词分解等组合性质。